MATTER

ou, en faisant intervenir les fonctions (22) et en remplaçant dy et dv par leurs valeurs (5) :

dR R RAR [on R—ng sinr—10"4(k— nl) v2 sin +].

On en déduit l'indice P :

p=n +(n —{) Æ sinr + 1074 La (k — nl) sinr.

Remarques. — 1° n est le degré de la résistance de l’air; p a la même valeur que pour la loi de résistance F(e) — kon.

20 Dans la loi Dupuis, la fonction n (6) subit une discontinuité pour & — 1 : l’hodographe de la résistance présentera au point correspondant un point anguleux. Nous supposerons dans les applications que 6 ne devient pas égal à 1 sur la trajectoire ou l’are de trajectoire étudiés.

36. — Étude de l’osculation des deux mouvements réel et surosculateur.

Ordre du contact des deux trajectoires. — Soient y = f(x) et y — h(x) les équations des deux trajectoires. Les équations (9) montrent

dR .

que 7, #, R, pr ayant la même valeur dans les deux mouvements

à l’instant zéro, les 4 premières dérivées de f (x) et h (x) sont égales pour x — 0. Les deux courbes ont un contact d’ordre 4. Il s’ensuit que, jusqu'aux termes en x4 compris, le développement de l’ordonnée d’un point de la trajectoire suivant les puissances de x . coïncide avec celui que nous avons donné au n° 32 pour la courbe (B,,).

Ordre infinitésimal de l’angle des vitesses, de la différence des abscisses, des ordonnées. — Nous avons donné (n° 22) l’expression de

ur ; TR DE !

FR elle ne contient que x, v, R. La dérivée troisième de x s’exprime

; dR À : ne donc uniquement à l’aide de r, ?, R, Tr Les trois premières déri-

vées de tsont donc égales à l'instant zéro dans les deux mouvements: l'angle des vitesses est donc un infiniment petit d'ordre 4 en £.

Un raisonnement analogue montre qu’il en est de même de la différence des abscisses et de la différence des ordonnées.

dy Ordre infinitésimal de la différence des vitesses. — Ts s'exprimant

RRQ TES

: de ; | dR 4 à l’aide deret R, RS s’exprimera en fonction de 7, R, on Les dérit vées premières et secondes de # seront donc égales à l’instant zéro dans les deux mouvements : la différence des vitesses sera un infiniment petit d'ordre 3 en t.

37. Remarques sur l’artifice de Didion et la méthode de Siacci. — La résistance opposée par l’air à un projectile dépend de la densité de l’air, qui varie le long de la trajectoire. Pour éliminer cette complication dans le calcul d’un arc de trajectoire, on admet, en général, que l’on peut, sans erreur sensible, donner à la densité une valeur constante : la densité à l’altitude moyenne.

La loi de résistance s’écrira : R = c F (+).

Un calcul simple permet de déduire de cette relation et des équations intrinsèques du mouvement une équation différentielle liant + et #, et que l’on appelle «équation de l’hodographe »:

dr g du = + ——, avec:u = ÿ COST.

COS T coouE(#)

Cette équation n’est intégrable que pour des expressions particulières de F(v). Pour se tirer d’affaire, avec une fonction F(+v} quelconque, on emploie « l’artifice de Dipron » que nous allons rappeler sous la forme que lui a donnée Sracar.

L’équation de l’hodographe s'écrit, À et p étant des nombres arbitraires, pour l’instant non précisés :

ner HN RE ni COSX CÀ COST u . u ne WU COST u ou, en posant — — w :

CAN EE dw COS? er (e de) COST.

Tout, jusqu'ici, est parfaitement rigoureux. Supposons maintenant que, sur l’arc considéré, l'amplitude de la variation de cos x soit DHoe

ir de COST COS T par l'unité, si l’on choisit pour À et p des valeurs différant peu

faible : on fera une erreur assez petite en remplaçant

La Res

de la valeur moyenne de cos r le long de l'arc. L’équation devient alors à variables séparées :

Loes lous Qudw

COS?t ex wF(w)

ce qui donne en intégrant :

g ff”. dv tgr — tg7 ee Rem 8 SLR A w F(w) Vo

On calcule ensuite pv, t, x, y en fonction de w par les équations :

DA D COS % due £ COS T !/ ‘72e (23) ; ee Ÿ COST di à d \ — = (gr.

En résumé, on a substitué au mouvement réel du projectile un mouvement fictif vérifiant en toute rigueur le système (23).

La seconde équation de ce système montre que ce mouvement fictif est un mouvement résistant : c’est la première équation intrinsèque du mouvement ; elle exprime que la composante normale de l'accélération est g cos +. L’accélération résistante de ce mouvement est déterminée par la seconde équation intrinsèque :

ce qui donne, en effectuant les calculs :

cÀ cos R — F E 2) COST pe

L'’artifice de Didion revient donc à altérer la loi de résistance

de l’air, en remplaçant la loi R — cF (e) par :

RE cÀ r( a

COS T H j

Indice du mouvement fictif. — Calculons 2 AOÛ a