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la fonction A(p) caractérisera la famille de courbes (F;). Pour les courbes (B,), on aura k (p) — 0.
Fonction h(p) pour les coniques. — Les équations différentielles
des paraboles du plan et des coniques du plan sont respectivement
(Halphen) :
(y +) ER ui 2 y". = oi 3 ?
11 3 ï 5 ART . 111 TE + Sen O) ee TPE U y" remplaçons y" en fonction de p (14) :
LR AC RES NES RE res SR ) FRE Eye;
on voit en passant que l’équation différentielle des paraboles du 2 à 4 Ga plan est p — 3 ce que nous savions déjà. En dérivant encore une fois l’équation (29), il vient, après réduction :
Che F1 TS Le —27 (y s) ee 8 yt24(2—3p)(4—3p)y" 3 mes
En égalant à zéro, on obtient comme équation différentielle des
coniques :
dp C—3nG—3p) y" dx 9 ya On remarque l'intégrale particulière p — correspondant aux
hyperboles ayant une asymptote verticale. La fonction A(p) est
donc, pour les coniques :
Rp) = p? — 2p + Fo
Calcul de dans un mouvement résistant ayant pour trajectoire t
une courbe d’une famille (F;). — On a immédiatement :
dp dp dx te
53. Étude du mouvement résistant ayant pour trajectoire une courbe d’une famille (F;). — Donnons-nous une famille de courbes (F,) en nous donnant à priori la fonction (p). Le mouvement résistant ayant pour trajectoire une courbe de la famille est déterminé par ses éléments initiaux %o, Po Ro Po-
Les éléments du mouvement à l’instant { seront donnés par le système d'équations différentielles (17), qui nous a servi dans la recherche des mouvements résistants d’indice p constant, auquel on joindra l’équation (30) ci-dessus.
L'intégration de ce système se ramène à des quadratures, et l’on exprime facilement x, y, tgr, p cost, R cosr et t en fonction de la variable p. Les expressions trouvées sont toutefois peu maniables si la fonction À (p) n’a pas une forme particulière. Nous préférons donner les développements en série entière des éléments du mouvement en fonction de {. En faisant h(p) — 0, on retrouvera les développements donnés dans l’étude des mouvements (M,), et en
faisant A(p) = p? — 2p + RO EE les développements en série des éléments du mouvement conique. Nous donnons aussi le développement en série de y en fonction de x.
Calcul de x en fonction du temps. — Le théorème fondamental de la dynamique donne :
eo — =%"——R cost; di? i
en dérivant par rapport à {, on obtient :
TX
= cs + Rois À
ou, en utilisant les équations (5) :
DD cos.
IT
Admettons que la dérivée d’ordre n — 1 soit de la forme : Rar—2
QD = —— COST on — 1 (P),
UP Ta
‘?n—1 (p) étant une certaine fonction de p. x” et x’! vérifient cette hypothèse, avec p, = — 1, ©, — p. En utilisant les équations (5), (13), (30) on trouve :
at) —
Rr-1 = 0057 9 (P)
n (p) étant déterminé par la relation de récurrence : Pn(p) = [n—3— p(n —2)] on-1(p) + 2 À (p) pn1 (P).
La loi de formation est donc exacte, et le développement en série de x (t) s’en déduit par la formule de Mac-Laurin :
$ s s 4 too r[1—È+ CTP CHER
Pa (Po) + a
Calcul de u = y—xtgr, en fonction de t.— Des équations fondamentales de la dynamique :
D RC T NY = RSI T2, on tire :
SIN (+ —+ u'=y"—x'igr =—g—R ( o) COS To
Un raisonnement par récurrence analogue à celui que nous avons fait pour x montre que l’on 2 :
Rr-2 57 (D) +
Gi
Re-1 sin (T—"%,)
(p) VREe COS To Rene
ur) = £
®n(p) étant la fonction rencontrée dans l'expression de x, et Ÿh (p) étant déterminé par la relation de récurrence :
Da (P}= (n — 3) (1 —p}Ya-1 (D) + 2 À (p)Ÿ'n-1 (P) — on (P),
avec Ya = + 1.
On en déduit le développement en série de y — zx tgr : 1 2 2 s? DNse HE torr à sel: UT vod CR ere Ÿ5 (Po). |
Calcul de tg+ en fonction de t. — Posons tgr — w. Un raisonnement par récurrence montre que :
R an) (4) = g D rer On (D),
ia fonction 6, (p) étant déterminée par la relation récurrente : 6, (p)}=[n—{—p(r—2)] 6-1 (p) + 2h (p) 6x-1(p),
avec 0, — —1.
Y=LigTo—
MTS
On en déduit le développement en série de tg 7:
Dre TRE o,( (Po) — | TN mere A Pol Ra à
Calculs de v cosr, R cos x, p en fonction de t. — En dérivant par
rapport à t la série x (t), on obtient :
dx S s? sp p COS T — Te —= Ÿ9 COS To [: = LL? 27 Po + 31 Pa (Po) + Je
d?2 x dt2
À S S2 — Ro COS To [: CONTES Pos Pa (Be). |
R cos r — — T1
En dérivant encore par rapport à t, on pourra déduire de lexpression obtenue la valeur de p. Tous calculs faits, on a : Rs cost, p= [+
R? 9, cos +
ea (Po)t Sr = os (Pe) + - le
Calcul de y (x) en fonction de x. — Un D analogue à ceux que nous avons fait plus haut montre que y" (x) a pour expres-
Sion :
ES
p2n—2çcosfr
y) (x) — An (P),
An (p) étant déterminé par la relation récurrente : An (p) = [nr —4— p (n—3)}a-1(p) +2hk(p)an-1(p), aVeC 13 = — 2.
On en déduit le développement de y (x) en série entière :
FA 2 rie 2 RS £ x3 RS 2 2! p5 cos? 3! % cosi x, 41 p, cos 4%
2% (Po) +...
