LES

sont multiphès par y. L'hodographe 4€, se déduit de 3€ par une homothétie de centre O, de rapport y, suivie d’une dilatation des abscisses dans le rapport Au”!

Ceci posé, considérons une famille de trajectoires dépendant de > paramètres et admettant le groupe de transformations :

D «+ 2%, Ya —8+uY,

(ce qui est le cas des trajectoires (B,) et des coniques).

Imposons aux trajectoires de passer par O : elles ne dépendront plus que de 4 paramètres, par exemple les valeurs initiales +,, ?e, R;, Pe- À la place de ces 4 paramètres, on si choisir comme pee mètres arbitraires les 4 quantités

m—tgs, 1—0,c0os+e, Ek pe

Raiïsonnons pour la portée. La portée du mouvement résistant

correspondant peut toujours s’écrire :

263 Sin +, COST re mn ed

> + étant une fonction définie par cette égalité qui s'écrit :

2EPm P— e (1, m, k, De, £).

Dans R transformation (À u, y), m et 1 sont ou respectivei i

cie 2 ment paru Xletau ? y ?et par suite

Test multiplié par à ;

il en est de même de P, donc & ne change LR dans la transformation

et on a l'identité i i

em k pr D =etx?u *alLuxtm, E pe, yo).

En faisant y — 1, u — 2°, l'identité devient : em, k, pe, £) = el 2m, E, pe, 7),

ce qui montre que g est indépendant de m et s'écrit done + (1 À, po, s). La transformation y — 1, u — à fournit l'identité -

e (LE Po D = e (2€, E, pe, ©)

et prouve que & est indépendant de l et s'éerit & (&, Pa, £)- L'identité du début devient : .

o(&, Pe, 5) = a{E, pe. v 2),

nous voyons donc que + est aussi indépendant de g et est une fonction de k et p, seuls ; ceci explique la formule

= (Ph ? (k, Po):

On expliquerait de la même façon la forme des expressions donnant les autres éléments de la trajectoire.

51. Deuxième transformation des trajectoires. Explication de la forme des fonctions balistiques. — Nous avons appelé fonctions balistiques les rapports des quantités x, y—zxtg, tgr—tgr,, v cos r à leurs valeurs dans le cas de la trajectoire du vide. Nous avons noté ce fait remarquable que, dans le cas des mouvements re constant, ces fonctions balistiques ne dépendent que dec +?

et p seuls. Expliquons ce fait.

fo Effectuons sur & la transformation (à, u, y). Nous avons vu quet P je PA

[3 u",Ro Cost = X, par yAaulet #, cost, par

PRET C Ro COS To : 3 At , par suites = t —— est invariant dans la transfor- Vo COS To

est multiplié par y

mation.

On voit facilement qu’il en est de même des rapports des quantités x, y—zxtgr, tgr—tgr, v cos r à leurs valeurs dans le cas du vide, c’est-à-dire des fonctions balistiques A, B, C, D.

Le raisonnement du paragraphe précédent montre que ces fonctions qui, a priori, devaient dépendre de t, Vos Tor Roy P, £ OU, Ce qui revient au même; de s, L, m, k, p, g seront fonction de s, k, p seulement.

Effectuons maintenant sur la trajectoire la transformation : H=Z, Yh=YTYEX,

y étant un nombre arbitraire. La courbe transformée est encore une trajectoire (B,). Cherchons ce que deviennent les fonctions balistiques À, B, C, D et les variables s, p, k.

y! devient y + y ; y” n’est pas modifié, donc v cosr et { restent inchangés, leurs expressions ne contenant que y’. Les différences y — stgr, ettgr — gr, ne sont pas modifiées, et par suite les fonctions balistiques conservent la même valeur après la transformation. Cherchons le nouvel hodographe ; les expressions de X et Y rappelées au paragraphe précédent montrent que l’on a :

PRO RRQ ERP HET ID

En; l’hodographe subit la même transformation que la trajectoire. L'expression de p rappelée plus haut montre qu’il est invariant ;

= Yo devient 4, = k + y =.

Les fonctions balistiques vérifient donc des identités analogues

Xo ya P)

qui montrent qu’elles sont indépendantes de #.

52. Famille de trajectoires (F;). — Les propriétés précédentes s’appliquent à toutes les familles de trajectoires admettant le groupe de transformations :

TL —=«+ AZ, n=B+uy+Yyx,

et dépendant de 5 paramètres. Ce sont ces familles de courbes que nous appellerons « familles (F;) ». Les trajectoires (B,), les coniques du plan, forment des familles (F;).

Equation différentielle des familles de courbes (F;). — Dans l’équation différentielle, qui est d'ordre 5, on peut faire figurer, au lieu

de y" et y" les quantités p et L’équation pourra toujours s’écrire : x

sous la forme :

nottl (#4 d avr Sn Le) y ie AT La transformation & = x + «, y, = y + 8 ne devant pas modifier l'équation différentielle, x et y n’y figurent pas explicitement ; La transformation y, — y + vx montre ensuite que y' n’y figure pas; la transformation y, — uy montre ensuite que y’ ne figure pas