CIE

Le tableau ci-dessous indique les valeurs de tg 6 calculées par les formules (2) et (3) pour les trajectoires :

Nous verrons plus loin (n° 23) que tg 6 est sensiblement égal à .

R, étant l’accélération résistante au sommet. Nous avons fait figurer cette quantité dans le tableau.

tg 0 tg 0 2R,

® formule (2) formule (3) "Sg 59 0,146 0,169 0,152 100 0,144 0,192 0,145 450 0,133 0,135 0,132 209 0,120 0,120 0,121 250 0,108 0,109 0,109 300 0,095 0,094 0,094 350 0,084 0,081 0,083 400 0,073 0,069 0,072 L59 0,062 0,058 0,061

L’accord est en général très bon.

rh)

Pour des ordonnées négatives très grandes, la trajectoire s’écarte de la parabole, puisque celle-ci admet une tangente verticale. Dans tous les exemples précédents, le point à tangente verticale de la parabole se trouve très éloigné : par exemple, pour la parabole assimilée à la trajectoire ci-dessus : 9, — 250 m/s, € = 3.1074, x — 300, alors que la portée est environ 4 850 m. et la flèche 741 m., ce pomt a comme coordonnées (environ) x — 23 500 m., y — — 220 000 m.

4. Aperçu historique de la question. — La ressemblance d’une trajectoire et d’une parabole à axe oblique avait déjà été signalée, mais dans des cas où elle était moins frappante.

Travaux du Chef d’escadron J.B. H. LEeFèvrE. — Dans un article paru dans la Revue d’Artillerie d'octobre 1879, « Note sur deux tracés empiriques de la trajectoire dans l’air et sur l’approximation qu’ils comportent », le Chef d’escadron LEFÈVRE cite les faits suivants :

« Le rapport n° 86 de la Commission d’expérience de Calais. fait ressortir un fait assez remarquable : c’est.que les ordonnées d’une parabole du 2e degré, obtenues par un simple tracé graphique, pour une trajectoire d’une très grande étendue (9 280 m.) diffèrent fort peu de celles qu’on trouve par deux procédés plus ou moins laborieux (Formule de Piton-Bressant et méthode de M. Bashforth).»

Le Chef d’escadron LEFÈVRE expose ensuite ses expériences faites à l’aide d’un fusil de rempart se chargeant par la bouche, et tirant une balle cylindro-ogivale de 60 g., de calibre 14 mm., de vitesse initiale 425 m/s environ. Ayant disposé des panneaux de 100 m. en 100 m., pour un tir d’une portée de 1 000 m., il trouve les ordonnées suivantes :

Mètres : 4,45 8,17 11,13 13,16 14,11 13,95 12,54 9,78 5,62 0,00

les différences de ces ordonnées avec celles d’une parabole à axe oblique (ordonnée de la parabole — ordonnée expérimentale) sont :

et les différences avec celles d’une courbe du 3e degré (trajectoire de Piton-Bressant) sont :

PS à DU

Les écarts avec une parabole à axe oblique sont relativement plus sensibles que dans nos exemples, mais, ici, le coefficient balistique et la vitesse initiale sont beaucoup plus élevés.

Travaux du Commandant BaTaiLLER. — Dans un article de la Revue d’Artillerie de juillet 1907, « Les coniques comme courbes balistiques et le calcul des zones dangereuses », le Commandant B4- TAILLER examine la question suivante : la trajectoire d’un projectile peut-elle être représentée par une conique ?

Comme nous l’exposons dans le chapitre suivant, on peut, connaissant uniquement la trajectoire d’un projectile, calculer la résistance en chaque point. Le Commandant BaTaILLER cherche donc quelle serait la loi de résistance F(v) correspondant à une trajectoire conique. Sa conclusion est la suivante : sauf peut-être aux grandes vitesses, la trajectoire diffère sensiblement d’une conique.

Nous verrons plus loin que, aux grandes vitesses, la trajectoire se rapproche beaucoup, si l’angle de projection est très faible, d’un arc d’hyperbole ayant une asymptote verticale ; toutefois la conclusion du Commandant BATAILLER est en contradiction avec l’exposé que nous venons de faire ; il écrit :

« Dès le début de la balistique, le désir de ramener à une forme simple l’équation de la trajectoire conduisit à essayer de remplacer cette trajectoire par un arc de conique.

«NEWTON proposa d’adopter une hyperbole dont l’une des asymptotes était verticale. De nombreux auteurs, parmi lesquels INDRA et OEKINGHAUS ont repris à leur compte l'hypothèse de NEwToN en admettant que l’on pouvait, sans erreur sensible, remplacer la trajectoire réelle par un arc d’hyperbole. On a également proposé l'adoption d’un arc de parabole à axe oblique. Ces tentatives diverses n’ont pas eu un très grand retentissement ; pour une précision moindre, elles ne présentaient pas sur la méthode de Piton- Bressant alors universellement adoptée, l'avantage d’une plus grande précision de calcul. »

L'auteur écrit ensuite en note :

« On peut ajouter que les faibles vitesses usitées ne se prêtaient point à une telle substitution. Il semble de plus que le problème n’ait jamais été traité avec toute la généralité et l’ampleur désirables. »

LE EUr D VAE

Autres substitutions de coniques à la trajectoire. — Le Général CHA- PEL remplace la trajectoire par une parabole bitangente à l’origine et au point de chute.

On a proposé aussi une conique bitangente à l’origine et au point de chute et ayant même flèche, mais il ne faut voir dans ces essais que des procédés empiriques, sans fondement mécanique.

5. But des chapitres suivants. — Nous allons étudier dans les chapitres suivants les circonstances du mouvement d’un projectile, en partant a priori de l'hypothèse que la trajectoire est, soit une parabole à axe oblique, soït une hyperbole d’asymptote verticale. Notre méthode différera de celle du Commandant BATAILLER, en ceci que nous attacherons moins d'importance à la loi F(v) résultant de l'hypothèse faite qu’à la comparaison des hodographes de la résistance dans le cas du mouvement réel et dans le cas des trajectoires paraboliques et hyperboliques.

Avant d’aborder cette étude, nous allons reprendre le problème classique (appelé problème de LAGRANGE) de la recherche des circonstances du mouvement d’un projectile, quand la trajectoire est connue. La nouveauté introduite consiste dans l’étude de l’hodographe de la résistance:et dans la définition de ce que nous appelons l’indice du mouvement en un point.