Classes de surfaces

7. Définition. — Nous dirons qu’une surface de Riemann S apparlient à la classe Caux, pour x > 0, (resp. Car, Can) st foule fonction analytique uniforme sur S qui appartient à (AM, (resp. (AB), (AD)) est une constante.

En vertu des relations établies plus haut entre les espaces (AM, ), on à pour O0 <T a <T B <T + co Cam, € Cam, € Cam, € Cas. Il est clair que C, € Cam. Pour & > 0, Cam, contient Cup, car s’il existe sur une surface de Riemann S une fonction holomorphe f non constante

e(AM,,), la fonction U — log fl + a(p, b;) (où les b; sont les zéros Î de f) est la plus petite majorante harmonique de log|f|, donc Ü-

La $ est celle de log|f|, et vérifie e*7* < 1 +|f}*; l’existence sur S d’une fonction harmonique bornée non constante résulte alors du théorème

11, appliqué à D(f) — e', à moins que Ü° ne soit constante, auquel cas f est bornée. On a évidemment Cp € Can ; comme (AD) c (AM), Cam, € Can. Ce résultat est d’ailleurs une conséquence immédiate du suivant :

Taéorème 23. — S'il existe sur une surface de Riemann S une fonction holomorphe non constante à intégrale de Dirichlet finie, il y existe une fonction holomorphe bornée non constante. En d’autres termes, la classe Cas est contenue dans la classe Can.

Soit w—/f(p) la fonction holomorphe non constante sur S qui

satisfait à Ds(f) << + ©. Comme DSf) — f n(w)do(uo) (avec les mêmes notations que plus haut), le domaine simple T —f(S) est d’aire finie ; [T contient donc un compact K d’aire > 0. S'il y a

dans K un continu non ponctuel, le théorème est démontré; si K est totalement discontinu, la fonction de A. Denjoy{1]}

au)= f EL

est uniforme, continue, bornée et non constante dans tout le plan des w (elle tend vers o quand w— w, et wo(w) tend vers l'aire de

K), et elle est holomorphe dans [K, donc dans T .o(/(p)) est alors

analytique uniforme bornée et non constante sur S.

00 M. PARREAU

Remarquons que le résultat précédent peut être établi à l’aide d'un théorème de L. Ahlfors[5], suivant lequel 1l existe une fonction holomorphe bornée non constante à l'extérieur de tout compact dont la capacité d'ordre 1 est > 0(”).

8. Nous avons vu que €, c Cam. Pour une catégorie importante de surfaces, on a même l'égalité. En effet :

Tuéorème 24. — Sur toule surface de Riemann hyperbolique de genre fini, ou qui est conformément équivalente à une surface de recouvrement de la sphère de Riemann dont le nombre de feuillets est borné, il existe une fonction méromorphe non constante de caractéristique bornée.

Soit S une telle surface, et soit z(p) la fonction qui associe chaque point p de S sa projection sur le plan complexe (identifié la sphère de Riemann); d’après le corollaire du théorème 2», appartient à (AM,) (°°).

Par contre, nous allons voir qu'il y a des surfaces de la catégorie précédente (donc &Cam,) qui appartiennent à Cam, pour tout + > 0. Il en est ainsi pour la surface F’ construite par P. J. Myrberg{2] de la façon suivante: soit o(z) une fonction entière ayant une infinité de zéros e, tous simples et de module > 1, et soit F la surface à deux feuillets sur laquelle la fonction 4/o(z) est uniforme, 4 et D’ étant les deux domaines de F qui se projettent sur f|z| es Z$; nous appellerons EF’ (resp. F”) la surface F— D’ (resp. F — D”). Soit p—p* l'involution canonique de F qui associe à p le point de F qui a même projection z(p) que lui; p—p" caractérise les points de ramification. Si fe(AM,), la fonction g(p) —(f(p) — f(p*)}, analytique sur F’n F”, y a ses moyennes d'ordre a [2 bornées; de plus, elle est uniforme en z, donc de la forme g,(z(p)), où g,e(AM:)c, en posant G— {1 dl? co. Mais z— est un point frontière isolé de G, g, y est donc analytiquement prolongeable (cf. n° 4); et par conséquent est identiquement nulle, puisque z2— « est limite des zéros e, de q,, La fonction f est alors uniforme en z, et régulière pour tout z fini ou infini; c’est donc une constante.

Le même raisonnement prouve encore que toute fonction

Los]

(®) L. Aurrors [5]. Le théorème 23 a été démontré indépendamment par L. AmLrors et À. Beurzinc [1] pour les domaines plans, et étendu aux surfaces de Riemaxx par H. L. Roypex [1] à partir du résultat d'AuLrors et BeuRLING.

(82) Je profite de cette occasion pour rectifier une erreur que j'ai commise dans ma Note des Comptes Rendus, 230, p. 751. La surface F/de M. Myr8erc n'appartient pas à Ciws puisque la fonction z(p), par exemple, appartient à (AM )w.

JAM )r est de la forme f;(z(p)), où f, est une fraction rationnelle : f'est donc prolongeable à la surface F tout entière (cf, Myrberg [2],

[3], et Ahlfors [7]).

9. L'exemple précédent nous montre qu’il peut exister sur une surface de Riemann $ de genre infini un ensemble compact E ayant des points intérieurs et tel que toute fonction (AM) & soit prolongeable à S. Plus généralement, le problème se pose de déterminer les conditions auxquelles doit satisfaire un compact E d’une surface S (qu’on peut toujours supposer close) pour que toute fonction de la classe (AM) définie dans un voisinage quelconque de E, sauf au point de E, soit prolongeable au voisinage entier. Il suffit que E soit de capacité nulle, d’après le théorème 20, mais ce n’est peut-être pas nécessaire, car si S est close et si S —S — E est hyperbolique, les fonctions de caractéristique bornée sur S’ dont l'existence est assurée par le théorème 24 sont définies sur toute la surface S.

Lorsqu'on pose le même problème pour les fonctions de (AM,) (x > 0), la possibilité du prolongement équivaut à l’appartenance de S—E à Cim,. En effet, si le prolongement est possible, toute fonction de (AM, }s £ est une constante, et s’il existe un voisinage V de E, et une fonction fe(AM, y £ non prolongeable à V, un raisonnement analogue à celui de Sario ([2], $ 2) montre qu'il ya sur S — E une fonction non constante à moyennes d'ordre « bornées.

Il serait intéressant de relier ces propriétés au comportement d’une fonction analytique au voisinage d’un ensemble de singularités essentielles, ou de la frontière idéale d’une surface de Riemann.