Valeurs déficientes. — Les définitions données ci-dessus
permettent d'introduire la notion de défaut. Nous appellerons défaut d'une valeur w relativement à la fonction f la quantité
NO, w) G, w)
Lorsque lim T(}, f)—+ , on peut remplacer T(}, w) par T“(2) À>0
(ww) — 1 — ou SUP
dans l'expression précédente. On a de plus le théorème suivant, dû à O. Frostman [:] dans le cas classique :
Taéorème 21..— Si la fonction caractéristique d'une fonction méromorphe f n’est pas bornée, les valeurs de défaut non nul par rapport à f forment un ensemble de capacité nulle.
La démonstration est la même que dans le cercle unité. Il importe de remarquer préalablement que les ensembles de capacité nulle dans le plan complexe fermé (ou la sphère de Riemann) restent les
mêmes lorsqu'on remplace la fonction fondamentale APE
| w, par la fonction CE ), qui permet de définir des rie
(6) Cf: 0. ic ss Il suffit FA le voir pour un ensemble E compact dans le plan
[wl< c ; or, log ———
— + Cte si w,,w,€E, de sorte que sur E le poten-
Lu, El "fu, mu tiel sphérique et le potentiel ordinaire d’une mesure portée par E ne diffèrent que d’une quantité bornée, La capacité sphérique de E sera par définition e—”, si m est le minimum
toujours positifs. Soitalors une mesure (sphérique » > 0 de masse 1 et de potentiel borné. D'après la formule (3) du n° 4, on a
fN@. RES 1), donc:
. À, w | NO, w [im sup” sup FE duo) = im | Ro du) = re ou encore [S(o)de. (w) <o ; mais Ü(w) est > 0, donc d(w)— 0 sauf
sur un ensemble de mesure-" nulle. 1” ane des valeurs de défaut > o est ainsi de mesure nulle pour toute distribution de masses de potentiel borné ; il est alors de capacité intérieure nulle, d’après H. Cartan (Rue [2])). Mais c’est un ensemble borélien, de sorte qu'il est de capacité nulle.
On peut même montrer que si T(}, f) n’est pas bornée, l'ensemble
des valeurs de défaut supérieur d(w) — I se ni — stricte-
de
ment positif est de capacité nulle. Nous En ot so effet la méthode de Valiron-Ahlfors ("”). Soit H() une fonction => 0, décroissante, qui tend vers + œ quand } — 0, et telle que T(2) — H() ait les mêmes propriétés. Pour x donné, l’ensemble fermé E, des w qui satisfont à NO, w) < T(A) — H(A) a une capacité sphérique inférieure à e— 10), car s'il est de capacité >> o, son potentiel sphérique d'équilibre U°? vérifie :
DO) e NO. w)dy op Je U*X(f(p))dh(p) — UP /{a)), et par conséquent a un maximum supérieur à H(2). Donnons-nous
alors un nombre À, > 0 ; et définissons par récurrence une suite (hu) au moyen des relations T'O,,,)—T*(,) + H0,,,):il est clair que
À, — 0. Si [on on a N(, w)>T*(Q) — 2H() pour À <<, | k>n et w£F, ; or, F, est de capacité sphérique inférieure à
fu I a (1) Se) = Si l’on prend H(Q)—(T"Q)) ? se <e<1), la capacité de F, est
des maxima des potentiels sphériques des mesures > 0 de masse totale 1 et portées par E. SE U E;, et si CO est la capacité one de E,, et C celle de E, on a:
108 & ee <ÈkeT-
(7) G. Vazirox [1], L. AnLrors a R, ee CA [2].
86 M. PARREAU au plus égale à e—T", Ÿ ; l’ensemble F — IF, € est de capacité
nulle, et si wéF, NA, w) est 2 > TO) — (TO) 2 E “pour À assez NO, w)
petit, donc lim + CORP AD:
al ( REMARQUES. — 1. On montrerait comme dans le plan (cf. Gunnar af
Hällstrôm [1]) que la somme des défauts est bornée dès que TO, f) croît
assez vile : l'ensemble des valeurs déficientes est alors dénombrable.
. Si TO, f) est borné, NA, w) l’est également, quel que soit w,
#3 on a lim NA, w)—N(o, w)—Yÿg(z{w)), en appelant z(w) les
racines de f(p)—w. Il en résulte que 29 7 z(w)) est convergente
généralisation du théorème de Blaschke). En particulier, Xa(P. Ck) converge ; la moyenne sur C, de
log Ip) 2 c) est TA f) NO), done f AM. ). La réciproque est évidente.
6. Extension à une surface de Riemann quelconque. — Considérons maintenant une surface de Riemann ouverte S quelconque, sur laquelle est définie une fonction méromorphe f(p). Dans tout domaine relativement compact très régulier G, de bord C, contenant un point a fixé une fois pour toutes, f a une fonction caractéristique (définie comme au n° 4):
TO, f: G)—= NO, f; G)+ mr, f; G) É = À [see — + J,,108 /(p)idho(p), où ga(p)—g(p, ai G), G—{ge(p) >}, dhe=—"(dgc) :
les points c; sont les pôles de f. Posons alors T(G, f)=T(0, f; G), N(G, w)— N(o, w; G), etc... Nous avons : LORD ge(ex) + [log f(p)dhe(p)—N(G, J)+m(G, f) (7;
la fonction T(G, f), dont la variable est un domaine, sera encore appelée la fonction caractéristique de f sur S. Cette dénomination
se justifie du fait que, visiblement, T(1, j'; Gj=MmG
(8) Nous supposerons désormais que 4Ç(p) est définie pour tout point p deS, g;(p) ayant la valeur o si p &G. Si a n’est pas un pôle, on a alors : N(G, f) = Ÿ go(cx). k
Quand G décrit l'ensemble filtrant des domaines du type indiqué, T(G, f) et N(G, w) sont des fonctions croissantes. En effet, si G < Gr, N(G, w)< N(G’, w), puisque ge < ge, d'autre part, la fonction u(p)}—og|f(p}— 2 g(p. x; G&) est sousharmonique dans CG ; comme JC: CS G'jdhe(p) —4g(a, ©; G)—g(a, c,; G)(avec la convention faite dans la note (")), la moyenne de w sur GC est m(G, f)+4N(G, f) —N(G, f), tandis que sa moyenne sur C/, qui mayjore la première, est m(G", f). Donc DOTE T(G Ep):
Le premier théorème fondamental s’exprime de la même façon
que plus haut. S1 f(a) 0, w,ona:
TG. =T(G, + )Ho8/ (0)
fe
à ; : : I S1 a est un zéro ou un pôle, il faut donner un sens à N{G, à Jos
N(G, f), et pour cela. introduire une fonction AG) destinée à jouer un rôle analogue à celui de la variable dans les numéros précédents. Or, on sait (cf. chap. 11, n° 13) qu'il existe toujours sur $ une fonction :(p), harmonique et uniforme, régulière sur S — {a}, et ayant un pôle logarithmique d'ordre 1 en a, Nous prendrons pour X(G) la
moyenne de y sur le bord C de G, extp)dhe(p), qui est encore égale à lim ((p) — gc( p}), d’après la formule de Green. Il est clair pa
que A(G) ne varie que d’une constante si on change la fonction y. Pour w quelconque, nous définirons alors N(G, w) par l'égalité :
N(G, w) = gels) —n(a m}(G)
dans laquelle n(a, w) désigne le nombre des racines de f(p)—w situées en a. | Si f(a) — 0 ou w, on aura:
T(G, n=s. r)+c avec GER (log|f(p) + n(a, o)}(p)) si a est un zéro,
c— lim (log|f(p)} —n(a, æ)y(p)) si a est un pôle.
On peut encore définir la fonction caractéristique par la méthode
88 M. PARREAU
de Shimizu-Ahlfors. G, ayant la signification indiquée plus haut, on appellera A(G,) l’aire sphérique de la surface de Riemann image de
G, par w—/(p), et on posera TG)=— f| : A(G, Ya. T*(G) est une fonction croissante, car si Ge G’, G, est contenu dans G,, donc A(G,) <A(G;), de sorte que T*(G) < T*(G’). En supposant f(a) fini, on a [T*(G)—T(G, f)+log 1 FOI; log 2.
On appellera ici défaut (ou défaut inférieur) d'une valeur w rela-
N(G, tivement à f la quantité d(w)— 1 — lim sup Fe et défaut ; Bré
N(G, w) Eh for f supérieur la quantité da) — I Les in T*(G)
Le théorème de Frostman et le théorème analoque relatif au défaut supérieur s’élendent sans difficulté au cas actuel, du fait que la «frontière idéale » de $ a un système fondamental dénombrable de voisinages. Si lim T(G, f)—+ 0, les valeurs w pour lesquelles
GS
S(w) n’est pas nul forment donc un ensemble de capacité nulle. En particulier, l’ensemble des valeurs lacunaires d’une fonction de caractéristique non bornée est de capacité nulle. Lorsque S est hyperbolique, il en est de même de l’ensemble des valeurs que f ne prend qu’un nombre fini de fois, et, plus généralement, de l’ensemble des w pour lesquels la série (6) Ÿ g(p, z(w)) converge. Au contraire,
à . J si f est de caractéristique bornée, la série (6) converge pour tout w; il en résulte que si T(G, f) est bornée, f appartient à (AM), et
réciproquement. Nous avons en outre le critère suivant :
TaéorèmME 22. — Pour qu’une fonction Né DIREDRE J définie sur une surface de Riemann hyperbolique S appartienne à (AM), il faut et il suffit que la série E;q(p, z;(w)) converge pour des valeurs w 0e. un ensemble de capacité strictement positive.
CororLaire. — Si S est hyperbolique, si w — f(p) représente S sur une surface de Riemann d’aire sphérique finie, f appartient à (AM).
En effet, si n(w) est le nombre (fini ou infini des racines de f(p)= vw sur S, on a [n(o)dr(w) <T + , donc n(w) est fini presque
partout, et la série (6) converge pour presque tout w. On verrait
d'ailleurs aisément que T*(G) < AG) + C* pour G = D,.
