INTRODUCTION

L'objet de ce travail est l’étude des moyennes des fonctions harmoniques et analytiques sur les surfaces de Riemann ouvertes, et l'application qu’on peut en faire au problème de la classification de ces surfaces. La théorie des surfaces de Riemann ouvertes, considérées comme variétés abstraites, a fait de grands progrès au cours de ces quinze dernières années, surtout grâce aux travaux de l’école finlandaise, notamment de R. Nevanlinna, P.J. Myrberg, L. Ahlfors, L. Sario, K. I. Virtanen, auxquels il faut joindre A. Pfluger, M. Heins, etc... (‘). Ces divers auteurs ont étudié particulièrement les fonctions bornées ou à intégrale de Dirichlet finie, et ont pris comme critères pour la classification l'existence ou la non-existence de fonctions harmoniques ou analytiques non constantes appartenant à l’une de ces catégories. J'ai essayé ici de montrer qu'on peut obtenir des résultats intéressants en imposant aux fonctions f étudiées la condition de borne suivante : | f admet une majorante harmonique (avec x > 1, et même « >> o pour les fonctions analytique). C'est surtout des fonctions harmoniques qu'il sera question ici ; on leur imposera souvent la condition plus générale : étant donné une fonction æ({) convexe dans [0, |, æ(|f|) admet une majorante harmonique (*).

(*) Voir la bibliographie placée à la fin de ce mémoire. Les numéros entre crochets qui suivent le nom d’un auteur renvoient à cette bibliographie.

(2) L'introduction des classes plus générales (HM4) est due à R. Nevancina [8]. La plupart des résultats établis ici sont encore valables pour les fonctions harmoniques définies dans un espace de Green (cf. M. BreLor et G. Cnoquer [1|).

2 M. PARREAU

Dans le premier chapitre, après avoir rappelé un certain nombre de définitions, je reprends la solution du problème de Dirichlet pour un domaine relativement compact, par la méthode de Perron- Brelot, qui s'étend sans difficulté à une surface de Riemann, car les propriétés des fonctions harmoniques ou sous-harmoniques qui y sont utilisées sont essentiellement des propriétés locales. L'exposé de cette méthode, dans le cas plus général des espaces de Green, est fait par M. Brelot et G. Choquet dans un Mémoire qui va paraître en même temps que celui-ci dans les Annales de l'Institut Fourier ; je me borne donc à en indiquer les grandes lignes, traitant d’abord le cas régulier, puis, à l’aide du procédé alterné, le cas général (qu'on peut d’ailleurs atteindre directement au moyen d’un lemme de M. Brelot).

Au chapitre n, je rappelle la définition et les propriétés immédiates des surfaces et des domaines hyperboliques ou paraboliques (un domaine étant dit hyperbolique s’il existe une fonction harmonique bornée non constante qui s’annule en tout point-frontière régulier). Je donne ensuite un procédé de construction de la fonction de Green g(p, q) d’une surface hyperbolique, et j'étudie son comportement à la frontière idéale ; je montre que pour tout a fixe de S et tout À => o, le domaine D, de (p. a) > x Î (*) est relativement compact ou parabolique. Cette propriété, et le fait qu’une surface de Riemann est réunion dénombrable de compacts, permettent d'étendre aux potentiels de Green sur une surface hyperbolique les principaux résultats de la théorie du potentiel newtonien : théorème de Gauss sur le flux, représentation potentielle des fonctions surharmoniques, extrémisation et balayage. En outre, on peut résoudre, pour le complémentaire d’un compact d’une surface hyperbolique, un problème de Dirichlet extérieur dans lequel on assigne la valeur o à la frontière idéale (en imposant une majoration par Kg(p, a)).

Au chapitre ir, j'étudie les espaces (HM,) (resp. les classes (HM4)) des fonctions harmoniques sur une surface de Riemann S telles que |u} (resp. æ([u|)) ait une majorante harmonique. Toutes ces classes sont contenues dans l’espace (HM,) des différences de fonctions harmoniques positives. Je montre qu’elles ne dépendent pas (à un isomorphisme près) des propriétés de la surface & à distance finie », mais seulement de celles de la « frontière idéale »

(@) E des une PRE quelconque, nous désignerons par { P(x)} l’ensemble des points æ où la propriété P est vraie.

MOYENNES DES FONCTIONS HARMONIQUES ET ANALYTIQUES o

(cf. théorème 7). Réciproquement, les fonctions harmoniques positives sur une surface de Riemann hyperbolique permettent de préciser la notion de frontière idéale, et d’en donner une définition ponctuelle, celle de R. S. Martin [1], dans laquelle les éléments-frontière sont définis par les fonctions K(p, s) limites de g(p, q)/g(a, q) quand q «s'éloigne à l'infini » sur S. Toute fonction w ne positive sur S, donc toute fonction de (HM%), admet alors une représentation intégrale unique de la forme up)= fK(p, s)du(s), où y est une mesure canonique sur la frontière de Martin.

J'appelle Cum A (resp. Cam ù) la classe des surfaces de Riemann telles que (HM;) (resp. (HM,)) ne contienne que les constantes, et Cas la classe définie de façon analogue à partir des fonctions bornées. Je montre que s’il existe dans un domaine D une fonction harmonique u s'annulant sur la frontière de D et telle que æ(|u|) ait une majorante harmonique, pour une fonction satisfaisant à