RUES

= +oo l

D est hyperbolique. Il en résulte que Cum, = Car lorsque % vérifie (1), en particulier que Cum, — Cus pour & > 1.

J’interprète ensuite ce résultat au moyen de la théorie des espaces de Riesz : (HM,) étant un espace complètement réticulé, je considère la famille complète engendrée par les fonctions bornées, et j'appelle ses éléments fonctions quasi-bornées ; une fonction quasi-bornée positive est la limite d’une suite croissante de fonctions harmoniques > o bornées. Si D vérifie (1), toute fonction ue(HM) est quasibornée, et la plus petite majorante harmonique U de œ(|u}) l'est

aussi ; u est de la forme AK, s)f(s)dv,(s). où », est la mesure

canoniqne associée à la fonction 1, et on a

(HM,), normé, est donc isomorphe à L*(l', »,).

Une autre façon d'atteindre certains des résultats précédents (celle que j'avais employée primitivement, en collaboration avec R. Bader) consiste à chercher la fonction qui réalise le minimum de la norme, parmi les ue(HM,,) qui satisfont à u(qg)—71, pour q donné; on constate que cette fonction extrémale est bornée. Pour «— 2, ce

l M. PARREAU

problème de minimum conduit à une fonclion-noyau du genre de celle de Bergman.

Le chapitre 1v est consacré aux fonctions analytiques ; j'y définis les espaces(AM,,) de fonctions holomorphes « à moyennes d'ordre > bornées », qui correspondent aux classes de Hardy dans le cercle unité; j'appelle (AM) la classe des fonctions méromorphes f telles que log |f| soit la différence des deux fonctions surharmoniques positives, et jJ'introduis pour toute fonction méromorphe sur une surface de Riemann une fonction caractéristique T(G, f) analogue à celle de Nevanlinna, mais dont la variable G est un domaine. L'appartenance de f à (AM,) équivaut au fait que T(G, f) reste bornée. Pour une fonction méromorphe à caractéristique non bornée, on a encore le théorème du défaut de Frostman, et celui de Valiron- Ahlfors-Nevanlinna sur le défaut supérieur.

J'indique enfin certaines relations entre les classes Cam, Cas: Can (définies de façon évidente) : je montre en particulier que Cr Etap.

Les principaux résultats de ce travail ont été résumés dans plusieurs notes aux Comptes rendus (*). Certains d’entre eux ont été obtenus en même temps et indépendamment par divers auteurs, M. Ohtsuka [1] en ce qui concerne le problème de Dirichlet, R. Nevanlinna [8] pour les classes (HM4), P. J. Myrberg [3] pour les fonctions à caractéristique bornée, H. L. Royden [1 1 | pour l'inclusion Cas € Ca; en outre, A. Mori fi]a développé et complété certains résultats annoncés par R. Bader et moi.

Je suis heureux d'avoir ici l’occasion de manifester ma gratitude envers M. G. Valiron, qui m'a orienté vers mon sujet de recherches, et dont les conseils m'ont été précieux. Je tiens à remercier M. Paul Montel, qui a bien voulu présenter mes notes aux Comptes rendus, et qui me fait l'honneur de présider mon Jury, et M. Henri Cartan, qui a eu l’obligeance de me donner le sujet de ma seconde thèse. Je dois également témoigner ma reconnaissance à M. Marcel Brelot, qui a mis à ma disposition une abondante documentation, et qui a accepté de publier ce mémoire dans les Annales de l’Institut Fourier. Je remercie enfin mon ami R. Bader, avec qui : J'ai eu de fructueuses conversations, des suggestions qu’il m'a faites.

(#) M. Parreau, Comptes Rendus, 230, p. 709 et 914; 231, p. 679 et 751; 234, p. 286 ; R. Baner et M. Parreau, Comptes Rendus, 232, p. 138.