RUE BONAPARTE

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NUMERIQUES ET ALGEBRIQUES

j^ ANTÉRIEUREMENT AU XVI* SIÈCLE

A propos d'un manuscrit de V Arithmétique

d'Ahen-Ezra.

La Bibliothèque nationale de Paris, possède cinq copies manucrites du « Traité d'Arithmétique »

lâODn lao Sepher ha-mispar d' Abraham Abën-Ezra, comprisesdans les N**" 1029, 1049, io5o, io5ietio52du nouveau Catalogue des manuscrits hébreux. Je me propose, dans les pages qui vont suivre, d'étudier un peu en détail une de ces copies, sommairement les autres, et de faire connaître aux savants, qui s'intéressent à l'histoire des Mathématiques, les réflexions qui m'ont été suggérées par l'examen comparatif de ces manuscrits.

L'exemplaire que je signale le plus particulièrement est celui du N° io52, petit volume in-4° écrit sur ce papier épais et glacé, simulant assez le parchemin, dont les Arabes se servent pour leurs copies

quelque peu soignées ; le dernier feuillet porte au))as les mots suivants ( v. le fac-similé p. 5.)

« Codex iste in Bibliothecam Colbertinam delatus « est ex Aleppo civitate Sjriœ, anno Christi

€ MDCLXXIV.

Steph. Baluzius.

Cette mention, la nature du papier, la reliure de style oriental, fort belle jadis, mais aujourd'hui fatiguée par un long service, tout concorde à nous démontrer que nous possédons dans cet ouvrage une copie exécutée en Orient.

Le volume se compose de deux parties bien distinctes : c'est d'abord, dans les 41 premiers feuillets, le Sépher ha-mispar, le «Livre des nombres» d'Aben- Ezra; puis un « Traité de l'Astrolabe » (folios 42 à 45) que suivent immédisPtement trois feuillets non paginés contenant un « procédé général pour « l'extraction de la racine [carrée] de tous les nombres, « qu'ils soient entiers seulement, ou entiers et des « fractions avec, si elles ressortent au nombre LX

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Et ce procédé, ajoute le copiste, « était écrit dans' « un livre compliqué à l'extrême, avec ça bout-^i bout-là « et écrit sans ordre ; or, c'était le Sepher ha-mispar « second de Ben Ezra. »

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Ces deux parties diffèrent considérablement d'aspect et bien probablement d'âge. En effet, tandis que dans le Traité d'Arithmétique le papier est fortement

jauni, et très-fatigué; qu une grande tache brune (sans compter les innombrables maculatures répandues çà et là) règne tout le long de l'ouvrage à Tangle libre inférieur des feuillets, qu'elle marque ainsi tous d'un signe irrécusable de longue existence en commun; qu'enfin le verso (à la mode hébraïque) du folio 41 témoigne par ses nombreuses maculatures et ses bords usés qu'il a servi quelque ten^ps de couverture au cahier avant d'être protégé par la seconde partie ; — celle-ci, au contraire, est dans un état de conservation remarquable: absence presque complète de taches, papier presque blanc en plus d'un endroit, partout ayant encore sa fermeté, son glacé primitifs; bord des feuillets coupés nets et nullement dumeteux comme dans l'autre partie : tels sont les indices, impossibles à méconnaître, d'un moins long service de cette partie comparée à l'autre. J'insiste particulièrement sur la grande tache brune du Sepher ha-mispar, qui n'a pas épargné, je le répète, un seul feuillet, tandis que l'angle correspondant dans le Traité de l'Astrolabe est, dès le premier feuillet, d'une pureté parfaite.

L'écriture des deux ouvrages n'est pas moins différenciée que leur état de conservation respectif, ainsi qu'on en pourra juger par les deux fac-similés cijoints. On retrouve au premier coup d'oeil dans le N** 2 tous les caractères d'un beau Raschi Oriental des XV' et XVP siècles. J'appellerai surtout l'attention sur les Icmedj les mern et les zaïn. Celle du N° I est bien plus originale, dans son aspect d'ensem ble aussi bien que dans ses détails : les lettres que je viens de signaler ont ici une forme bien différente de celles de leurs homologues de la 2* partie. On remar-

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quera aussi la tendance générale qu*ont ici les lettres à se souder par le bas, tendance qui rappelle un usage bien connu de l'écriture cursive orientale, que nous voyons se transmettre des inscriptions de Palmyre et du Sinaï au Raschi de quelques Juifs du Maroc, à en juger d'après les fac-similés donnés par Bresnier dans sa Grammaire Arabe.

L'écriture du Traité d'Aben Ezraofifrecertfidnement un caractère bien accusé d'ancienneté relative; toutefois, je n'oserais pas me hasarder à lui attribuer une date; mais il serait bien à désirer que quelques personnes versées dans la paléographie hébraïque et le classement chronologique des divers tjrpes de cette écriture, voulussent bien prendre la peine d'examiner notre manuscrit et d'en fixer au juste l'âge probable, parce que cette fixation offre un intérêt sérieux à cause des signes numériques employés par le copiste pour transcrire les exemples donnés par Aben Ezra. — Mais n'anticipons pas sur une question qui sera développée en son lieu, et revenons encore un instemt sur l'état matériel de notre manuscrit, pour signaler au premier feuillet du Traité d'Arithmétique et à la fin de celui de l'Astrolabe quelques mots de deux écritures au moins, qui attestent que notre volume qui n'est pas, par la nature de son sujet, de ceux qui voyagent beaucoup, avait pourtant passé par plusieurs mains entre le moment où il a été relié, et celui où il a été apporté d'Alep à la Bibliothèque de Colbert.

Je passe maintenant à Texposé des détails d'exécution qui rendent cette copie des Sepher ha^mispar particulièrement intéressante.

Après avoir exposé à sa façon les principes siu" lesquels repose la numération décimale écrite, l'auteur ajoute :

nitB?y ontt; a^SSai rhnra onm cnâoo «;> tzDN abiyS nom lâDD iS pN ONT • SSdtî ifloo p inxi ann^n lûoo nSn/o 3vid> moiDtzD^TEn- ;n"TiE;y ont? noifn rhvD2 iùod ^h «?n tzDnrwn

« Alors les savants de l'Inde ont formé tous leurs « nombres au moyen de neuf, et ils ont inventé des « figures pour ces neuf nombres [seulement], « Quant à moi, j'écrirai à la place de [ces figures] : les € neuf premières lettres numérales hébraïques,

« Or toujours, si le nombre donné est composé « d'unités en commençant (i) et du nombre rond (2

(i) Le texte de ce passage était fautif dans les cinq manuscrits et Ton voit que chaque copiste a essayé de le restituer à sa façon j'ai dû faire comipe eux : ai-je été plus heureux?... Deus scit,

(2) Je ne vois pas d'autre moyen de traduire le mot 7 /D kalal € complet, parfait, > par lequel Âben Ezra désigne ici les dizaines par opposition aux unités simples. La distinction que notre auteur établit entre ces deux parties d'un nombre est fort ancienne. On connaît les dénominations de digiti et articuli employées

« (ce sont des dizaines), on écrit en commençant le « nombre des unités et ensuite le nombre rond; mais « s'il n'y a pas de nombre d'unités, si Ton a un nombre « [tout entier] du second degré (3) (des dizaines), on « pose comme la figure d'un rond comme ceci : o, pour « faire voir qu'il n'y a pas de nombre au premier de- « gré; puis on écrit le nombre que l'on a aux dizaines « après [ce rond]. »

Puis il continue à expliquer l'emploi du zéro aux autres places qu'à la première.

Il résulte de ce passage qu'Aben Ezra, qui ne voulait pas, sans doute par un scrupule religieux un peu exagéré (ce qu'indique une glose intercalée au Manuscrit N** io5o) faire usage des figures profanes employées par les Indiens, avéCît inventé une manière à lui d'écrire les nombres au moyen des neuf premières lettres de l'alphabet hébreu, représentant déjà pour tous les Juifs les neuf premiers nombres, mais qu'il

dans ce même sens par Boèce et son école; les auteurs arabes faisaient également cette distinction : Al-Khârizmi désigne les

dizaines par le mot J^ytP Suqûd, pluriel qui signifie ordinairement € colliers, guirlandes de perles, nœuds de pierreries, » et que Rosen a traduit par knots, mais qui doit être plutôt pris ici

comme pluriel de AJLaP Siqdat « articulation Jointure », et être re. gardé comme la traduction exacte de articuli. — Behâ-ed-Dîn, se contente de dire c unités et ce qui n*en est pas >, par exemple dans sa règle de la mulitiplication

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Et d'abord lorsque tu as des unités par des unités, ou des unitt^s par ce qui n'en est pas, ou ce qui n'en est pas par ce qui n'en est pas ». Voir du reste pour plus de détails mon Etude sur /VI-Khârizmî au Journal Asiatique, janvier 1878.

(3) Le mot r07]?O que je rends ici par « degré » est le même dont iVben-Ezra se sert plus tard pour désigner les degrés de la division sexagésimale: il signifie, du reste, très couramment, les « degrés d'un escalier».

employait avec une valeur de position, leur adjoignant seulement un zéro auquel il donnait le nom de galgal parce qu'il le faisait tout ropd. ( j)

A quel usage employait-il ces lettres-chififres ? Si nous parcourons le Sepher ha^mispary nous voyons que toujours, dans le texte, les nombres cités sont représentés par les lettres numéraZ^s ordinaires des Juifs, quand ils ne le sont pas par des noms dénombres écrits en toutes lettres. Nous en allons voir de nombreux exemples tout-à-rheure. Pourquoi donc s'être donné la peine d'inventer un système de notation particulier et avoir consacré toute son introduction à en expliquer l'emploi ? C'est que, comme nous le démontre notre Ms. io52, Aben Ezra accompagnait chacun de ses calculs d'un tableau détaillé de l'opération, et c'est dans ce tableau qu'il faisait usage de ses lettreschiffres et du zéro indien. Dans notre manuscrit, et c'est ce qui en fait la grande valeur, ces tableaux sont toujours soigneusement reproduits à la suite de chaque opération expliquée dans le texte, et lorsqu'on les a sous les yeux, il est impossible de méconnaître que ces tableaux Soient bien l'œuvre d'Aben Ezra lui-même, parce que l'explication donnée par le texte, à la façon dont elle est rédigée, les suppose placés

(i) Dans les rares tableaux de calcul qui sont conservés dans les numéros 1029, 1049, et io5i le zéro est fait ainsi 5 Cette figure, qui ne répond pas au nom du zéro d'Aben Ezra, était, nous le savons par les recherches de Woepcke (Mémoire sur la propagation des chiffres Indiens en Occident, voir Journal Asia» tique i863, p. 408 sq), une des formes du zéro sexagésimal, c'est-àdire du signe par lequsl on indiquait, dans les tables par degrés, minutes et secondes^ l'absence d'un de ces ordres de fractions de la circonférence. Il est d'origine grecque, il dérive de (J du mot off$ev.

sous les yeux des lecteurs. Quelques exemples vont nous en convaincre.

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