EE Y
Dans le cas général une lumière de paramètre I, M, C, S peut être considérée comme la somme d’une lumière purement elliptique de paramètres VV + CC +S, M, C,Set d’une lumière naturelle. Le taux de polarisation est le rapport entre l'intensité de la lumière elliptique et l’intensité 5 la lumière totale :
VFEOIS VESTES PRE TR ANSE D Ainsi si y—0 5 — 0, la lumière se compose de lumière naturelle et de lumière linéairement polarisée suivant Ox ou Oy selon que y est supérieur ou inférieur à v et le taux de. polarisation est :
Sik= y, y — 0, la lumière ajoutée à la lumière naturelle est polarisée circulairement et le taux de polarisation est :
11. Etude expérimentale de la polarisation d’un faisceau. — Après un choix d’axes Ox, Oy, il s’agit de mesurer les rapports des quantités I, M, C, S ou y, v, y, o
Si la source initiale est d'intensité constante il suffira d’appliquer la méthode du paragraphe 3, c’est-à-dire faire des mesures d'intensité en donnant aux angles + et 4 des couples différents de valeurs en nombre assez grand pour déterminer tous les coefficients I, M, C, S de la formule :
2" = I + M cos 2} + C sin 24 cos 6 — $ sin 2} sin
Si la source est d'intensité variable sans régularité, il est commode d'opérer de la façon suivante. -On remplacera le second appareil, genre nicol, par un biréfringent donnant deux faisceaux polarisés rectilignement à angle droit dont-on mesurera le rapport des intensités.
Il suffira d'effectuer les 3 mesures suivantes :
1° On ne met pas de lame cristalline avant l’analyseur (9 — 0)
et on tourne l'analyseur de façon que les deux faisceaux sor-
tants soient polarisés l’un suivant Ox (Ÿ — 0) et l'autre suivant Oy ( = 2). On mesurera r, rapport de l'intensité du
premier faisceau à celle du second. On a :
=cI1+M.
4 SA M__rm—i:
G) PES ue: otecess
2° On tourne le polariseur de l’angle + + - Le nouveau
rapport mesuré r, est donné par :
__I+C RQ ETS TT (2) = TG d’o mr
3° On met une lame cristalline quart d'onde l’axe rapide
. . . . T e suivant Ox, créant ainsi suivant Ox une avance de— . Alors
P=— : . On laisse l’analyseur comme précédemment. On a : 138 I —— S LORS CRE S CET pe PUR pr de dires
On voit comment on peut ainsi déterminer expérimentalement les quantités :
Il convient de donner un nom à ces quantités. Revenons à la représentation à l’aide de la sphère de Poincaré. Soit un type de vibration totalement polarisée caractérisé par un point P quelconque de la sphère et soit V la pro-
1/4 PAUL SOLEILLET
jection sur la direction définie par ce point P du vecteur. M, C, S. Nous proposerons de définir par taux de polarisation relativement à l'ellipse définie avec son sens de par-
coùrs par le point P la quantité . . Nous voyons que V coïncide avec le vecteur, M, C, $ si l’on a choisi pour P le point défini précisément par M, C, S et la quantité + est bien ce
qu’on désigne couramment par taux de polarisation p de la lumière étudiée. Avec la convention faite nous voyons que
les quantités : 3 : : = sont respectivement les taux de pola-
risation relativement à Ox, relativement à la droite faisant
avec Ox l'angle + 7 et relativement au cercle parcouru dans
le sens positif.
On remarquera que entre les 3 taux de polarisation relative Arr es Pet Dr e\E GC \2 S \2
h4) : Lu (+ + = E sn Je
Cette relation est valable avec 3 autres taux de polarisation relativement à 3 types de vibration définissant sur la sphère de Poincaré un trièdre trirectangle.
Remarquons enfin que nous donnons un signe ‘à un taux
de polarisation relative. Pour rétablir le signe + il suffit de remplacér l’ellipse de référence choisie par l’ellipse définie
et le taux p de polarisation vraie, il y a la relation :
TS
par le point diamétralement opposé de la sphère. C’est, on le sait, une ellipse semblable, parcourue en sens inverse et croisée y (c'est-à-dire ayant tourné d’un angle droit par rapport à la première).
12. Le tenseur f/. — Les quantités y, y, y, « ne sont définies qu'après un choix d’axes rectangulaires Ox, Oy. Choisissons
d’autres axes rectangulaires Ox,, Ox.,, les premiers étant
maintenant désignés par Ox,, Ox, et cherchons à exprimer les nouvelles quantités y, v!, y, s’en fonction des anciennes Les V, Yo Ge : [ Désignons par a les cosinus directeurs des nouveaux axes par rapport aux anciens, l'indice supérieur z étant relatif aux nouveaux axes, et l'indice inférieur j étant relatif aux anciens.
Les formules du paragraphe 6 nous donnent ia solution du problème en faisant :
U) = (au + (a)v +20 0y I Ü 1 o 2 y = CC + av + (aa, + aa)
4 2 2 1 5 — (aa — aa le = 0 1 12
Nous voyons ainsi que y, y, y se transforment comme les - , ta AE 3 composantes indépendantes d’un tenseur symétrique du second ordre.à 2 dimensions :
La Ya y
et « est invariable comme les composantes indépendantes du
tenseur symétrique gauche :
Po 0 Par addition nous obtenons le tenseur :
| LE va de
Serre al Y
que nous pouvons désigner par f?
An LE fe 1 |
16 PAUL SOLEILLET
On a ainsi :
(2) S'Ü = aiul A
On voit que l'invariant f* — = —# + v représente l'intensité du faisceau.
On peut montrer directement la nature tensorielle des
quantités f”. ÿ Si l’une des vibrations élémentaires est représentée par : æ— p cos (wt+a) y — q cos (ut + P)
nous poserons :
ét = post = g cos f
St = Din tes —gsme:
Les quantités c!, c? et s!, s? sont évidemment des vecteurs, ils représentent la position aux instants o et — = du mobile s.
en mouvement vibratoire. {l en résulte que chacun des ensembles de produits :
est un tenseur du second ordre, de même que les combinaisons particulières :
: ce Fe U*—c'c/+5s's
vi cs + s'c?.
Or :
ÜU pt Ut? = pq cos (B — a) U? = pq cos (B — a) Hg et :
Vi — 0 Vi2 — pq Sin (6 — a) Vi=—pqsn(B—a) V?—o.
LE
PE
En prenant les moyennes relatives à l'ensemble des vibra-
tions élémentaires, on voit bien que les tableaux :
LE ea 0 5 n EN
sont bien des tenseurs de second ordre et que les quanti-
et — 6 O0
tés f7 forment bien les composantes d’un tenseur du second -ordre. à
On voit d’ailleurs: ainsi que les formules de chargement d’axes sont valables avec des axes obliques et que les composantes considérées sont des composantes contravariantes
: FO te .
puisque les quantités c ets sont évidemment contravariantes.
43. Polarisation des divers faisceaux émis par une source. — Nous allons maintenant étudier la polarisation et l’intensité des faisceaux émis dans toutes les directions par une source. Son émission pourra ou non être provoquée par un rayonnement extérieur. Nous ferons l'hypothèse suivante : à chaque instant la source vibre suivant une ellipse dans l’espace ; dans une direction quelconque la radiation émise vibre suivant une ellipse projection sur un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l’ellipse de vibration de la source. Si on partage l’unité de temps en un nombre N assez grand d’intervalles égaux, pendant chacun des intervalles, le mouvement elliptique de la source peut être considéré comme
stationnaire, mais il se modifie d’un intervalle à l’autre.
Si Ox,, Ox,, Ox, sont 3 axes rectangulaires, le mouvement, de la source dans l'intervalle ; sera représenté par :
(Xi), —= P; cos (ut Ts g;) (1) (æ2), = 4; cos (ot — Ÿ.) (ts), = r, cos (ut — 7).
Choisissons 2 axes rectangulaires OX, OY perpendiculaires à la direction de propagation du faisceau étudié. Ils pour-
A 1 : re È EE ront être définis par leurs cosinus directeurs a, b, c; a’, b', c’.
18 PAUL SOLEILLET
Pendant l'intervalle à le mouvement elliptique propagé
sera proportionnel à :
X,— ax, + bX,, + x, rt ! ! :
Ÿ 4% ce b'x,, + c'æ,
Les quantités caractéristiques de cette vibration sont alors :
p, = Li api+ b'gi + Cri + 2abp,g;e0s (Y: — 4;) »
+ »acp,r;cos (9, —x;)+2bcq;r; cos (x; —%;) 5 = + api + bai cri + 2aV'pqi eos (4; —4)
+ 2a'c'p.r,cos(?,—1,;)+2b'c'q;r,cos(x—.) k |
= — { aa'p; + bb'q; + cc'r!
+ (ab! + ba')p;g;cos (t, — @;) + (ac! + ca')pr, cos (p, — 4) + (bc' + bc')pr, cos (x, —#;) É de = { (ab'— ba')p,q;sin (4. — +.) + (ac'— ca')p,r, Sin (e, — x.) + (bc'— cb'jq;r, sin (x; —) È
Posons alors :
Se £ ù L=R2r L=g2a L=rdr N N ske Ci HAN D TPS cos(x;— 9) C SE + D cos(?—}) 1 ï É £
} GER D P,,c0s (4, — 0)
Si N D gr. Sin Ge) Sy + Yrp, Sin (p,—%4,)
SR D pqsin(t—e).
__ Ges 9 quantités sont les caractéristiques de l'émission de la source. On obtient :
{mu = &L, + OL, + CL, + 2bcC, + 2caC, + 2abC, v = a?L, + LL, + CL, + 2b'c'C, + 2c'a'C, + 2a'b'C,
(4) y= aa'Ll, + OU'L, + cc'L, + (bc! + cbC, | + (ac' + ca')C, + (ab! + ba')C,
\ oc (be — cb')S, + (ca! — ac')S, + (ab! — ba’).
14. Détermination expérimentale des quantités L, C, S. — On voit que la connaissance des seules quantités L, C, S permet de prévoir l'intensité et la polarisation des faisceaux émis dans toutes les directions. Inversement, l’étude expérimentale d’un nombre fini de faisceaux permet la détermination des 9 caractéristiques et par suite permet de prévoir les résultats dans les autres directions.
Il serait intéressant de n’avoir à étudier que les faisceaux d'un même plan Ox,, Ox, par exemple. L'étude du faisceau dirigé suivant Ox, nous donne L,, L:, C, et Si. Celle du
- faisceau suivant Ox, donne L,, C,. S, et aussi L,. Un faiscau à 45° de ceux-ci permet le calcul de C3. Mais S, ne peut s’obtenir que par l'étude d’un faisceau sortant de ce plan.
On vérifiera aisément que pour un faisceau suivant Ox,, la vibration étant étudiée par rapport à Ox,, Ox..
TRE De = Le Ne so, Faisceau Ox, (étude suivant Ox,, Ox,) :
Det L, = D NE =D, Faisceau Ox, (étude suivant Ox,, Ox,) :
FAR PA V— V0 Ge Dre
