Sur les principes fondamentaux de la théorie des nombres et de la géométrie

Pour bien raisonner, on admet généralement avec Pascal qu'il faut prouver ce qui est obscur et n'employer dans les démonstrations que des axiomes très évidents ou des propositions déjà accordées ou démontrées.

Mais un axiome très évident pour l'un, ne l'est pas pour un autre, et je crois qu il vaudrait mieux dire : pour bien raisonner il faut ne faire qu'un petit nombre d'hypothèses, et en chercher les conséquences logiques.

Au fond ces deux manières de concevoir l'art de raisonner sont identiques, car un axiome très évident n'est qu'une hypothèse très plausible. INIais si le fond est le même, la forme est différente au moins dans les applications; la doctrine des axiomes très évidents a peut-être linconvénient de laisser de côté la question de savoir si ces axiomes ne sont pas des conséquences les uns des autres.

Il est curieux d'observer ce qu'est pour nous un axiome très évident ; les hommes de ma génération qui ont suivi les cours de mathématiques spéciales de notre époque, se rappellent, sans doute, que l'on admettait comme un axiome très évident : qu'une courbe continue ayant manifestement une tangente, toute fonction continue devait avoir une dérivée ; une première affirmation nous laissait un peu sceptiques, mais en allant en avant, la foi nous venait. On connaît le sort du prétendu axiome en question.

Or parmi les axiomes que je pourrais appeler classiques, il y en a une foule qui ne méritent ce nom que parce que nous

b LES NOMBRES

les avons acceptés sur la simple affirmation d'un maître. On nous a affirmé que le postulatum d'Euclide n'était pas évident, nous nous sommes inclinés, on nous a affirmé qu'un angle retourné était susceptible de coïncider avec sa position ancienne, nous nous sommes inclinés, on nous aurait affirmé le contraire, nous nous serions également inclinés. L'éducation première a laissé son empreinte, et nous regardons comme des axiomes très évidents, ce que l'on nous a habitués à regarder comme des axiomes très évidents. A l'ancienne définition de l'axiome, vérité évidente par elle-même, on doit donc substituer la suivante infiniment plus exacte :

Un axiome* est une proposition que l'atavisme, l'éducation, l'autorité du maître nous ont fait accepter comme vraie sans examen, et surtout, sans nous préoccuper de savoir ce qu'est au fond pour nous une vérité.

Il est temps, je crois, de renoncer à la doctrine des axiomes pour lui substituer celle des hypothèses. Dans cet ordre d'idées une vérité est une hypothèse plausible ou une conséquence logique d'hypothèses non contradictoires.

On sait qu'en se plaçant à ce point de vue, le grand géomètre Sophus Lie, qui a été, peut-être sans le vouloir, un grand philosophe, a résolu pour la première fois une question de métaphysique sinon en nous révélant la nature de l'espace, au moins en détruisant les idées erronées qui s'étaient propagées à travers les âges, sur la valeur des axiomes énoncés ou sousentendus dans Euclide et ses continuateurs.

J'ai essayé comme l'on fait MM. Tannery, Méray, Cosserat de fonder la théorie des nombres sur un petit nombre d'hypothèses, mais en suivant une tout autre voie ; je me suis bien vite aperçu que les axiomes énoncés, ou sous-entendus dans les traités élémentaires d'arithmétique et d'algèbre^ pouvaient être considérablement réduits ; et pour cela il m'a suffi de donner une définition nette et précise de la quantité et du nombre. J'espère avoir réussi, sans avoir recours à des considérations transcendantes.

Comme on le voit, je me place au point de vue utilitaire ; MM. Méray, Tannery, Cosserat se placent à un point de vue esthétique. Pour moi les mathématiques pures ont pour objet l'étude des quantités à l'aide des nombres ; pour MM. Tannery, et Cosserat les mathématiques pures sont un exercice de logique.

Je ne ferai, comme on le verra, que quatre hypothèses que je mets franchement en relief :

i°/e raisonne juste (hypothèse de tout raisonnement).

'^° La quantité sera délinie, je suppose quil existe des quantités.

S*' // y a des quantités susceptibles d'être divisées en autant de parties égales qu on voudra (je définirai la division en parties égales).

4*^ Quand une quantité croît sans cesse, {ou décroit sans cesse) sans devenir plus grande [ou plus petite) quune quantité fixe, elle a une limite.

Si l'on fait ces hypothèses, il n'y a plus d'axiomes très évidents. On DÉMONTRERA que pour ajouter une somme à une quantité, il suffit de lui ajouter chacune des parties de la somme, qu'une différence ne change pas quand on ajoute ou quand on retranche une même quantité à ses deux termes, etc.