EGALITE ET ADDITION

Deux choses qui ne diffèrent en rien l'une de l'autre sont une seule et même chose ; car si elles étaient distinctes, elles différeraient par une qualité quelconque, elles n'auraient pas par exemple le même mode d'existence dans le temps ou dans l'espace, la même couleur, etc., permettant de dire qu'elles sont distinctes.

Il est commode de dire que deux objets qui ne diffèrent en rien l'un de l'autre, et qui par suite ne sont qu'un seul même objet, sont des objets identiques.

Des objets matériels ou immatériels, sans être identiques, peuvent avoir une propriété commune ; si alors, par la pensée, on fait abstraction de toutes leurs autres propriétés, ils ne diffèrent plus en rien, ils deviennent identiques ; et pour exprimer ce fait, oh dit qu'ils sont égaux.

Deux objets égaux sont donc deux objet jouissant d'une même propriété énoncée ou sous-entendue et dont on laisse de côté les autres propriétés.

Il n'y a là rien de conventionnel de ma part, et je ne fais que préciser une idée que nous nous faisons tous de ïégalité. L'égalité est une propriété toute relative, et qui dépend du point de vue auquel on se place. Ainsi un cheval est légal d'une

poule, quand, faisant abstraction de toutes leurs autres propriétés, on les considère lun et l'autre comme des animaux.

Si des objets A et B sont égaux à un objet C, A et B sont égaux entre eux, par définition.

Considérons maintenant des objets A, B, C, D,.., aussi différents les uns des autres que l'on voudra par leurs propriétés, combinons ces objets entre eux de manière à constituer un objets, en procédant, toutefois, comme on va le dire. ..On combinera A avec B, en suivant une certaine règle, et l'on obtiendra un objet B' ; on combinera, en suivant la même règle, B' avec C et l'on obtiendra un objet G^ ; et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on trouve un objet S. L'opération fmale portera le nom à' addition, si le résultat S ne dépend pas de l'ordre suivi en combinant A, B, G... Si, par exemple, on obtient encore S en combinant B avec A, ce qui donne A'', puis A^' avec D, ce qui donne D", et ainsi de suite, en employant tous les objets considérés dans la première série d'opérations.

S'il arrive qu un objet puisse être supprimé sans que le résultat de l'addition en soit altéré, on dira que cet objet est nul ou de nul effet.

On considérera deux objets comme égaux, quand on obtiendra l'un en ajoutant à l'autre un objet nul; en d'autres termes, on fera abstraction de la propriété qu'ont les objets d'être associés par addition à des objets nuls.

Le résultat de l'addition de A, B, G... portera le nom de somme ou total des objets A, B, G...; A, B, G,... seront les parties de la somme S. Donc :

Une somme reste la même, par définition, quel que soit l'ordre dans lequel on ajoute ses parties.

QUANTITES

Si un objet A peut s'obtenir en ajoutant à B un objet G qui n'est pas nul, on dit que A est plus grand que B et que G ; 15 et G sont plus petits que A.

Considérons maintenant une suite illimitée d'objets, A, B, G... Supposons que ces objets, en vertu d'une règle déterminée, soient susceptibles d être ajoutés et que la somme de deux quelconques d'entre eux fasse partie de la suite A, B, G... Supposons en outre que deux quelconques d'entre eux A, B

étant choisis arbitrairement, il résulte de la règle adoptée pour faire l'addition, que A soit égal à B, soit plus petit que B ou soit plus grand que B ; le système de ces objets A, B, G,... formera un système de quantités homogènes ou de même espèce.

Ainsi des quantités homogènes sont des choses que l'on peut ajouter, supposer égales entre elles, plus grandes ou plus petites les unes que les autres.

Je fais cette hypothèse, qu'il existe au moins une espèce de quantités homogènes.

PROPRIETES DES QUANTITES

Soit A une quantité plus grande que B, on obtient par définition A en ajoutant une quantité C à B, on dit que C est la différence entre A et B. Si -|- est le signe de l'addition, = celui de légalité,

exprimera que A est la somme de B et G, et que G est la différence entre A et B ; on dit que l'on obtient G en soustrayant B de A. — étant le signe de la soustraction, la formule (i) et la suivante

expriment la même idée.

// est facile de prouver que la soustraction ne peut se faire que d'une seule manière.

c'est-à-dire que si

on a forcément

B=zB'.

En effet, dire que A — B = G, c'est dire que A = B -|- G, de même A = B'-[- G, or si B et B' ne sont pas égaux, on aura par exemple B'=B-f- ^c et '

lO LES NOMBRES

ce qui exprime que a est de nul effet dans l'addition, c'est-àdire est nul, et il est permis de ne pas en tenir compte, donc B = B'. Ainsi les formules

entraînent la conséquence

// est facile de voir que si

on aura aussi

car si B' = B-f-o'-j par exemple,

A + Brrz A-1-B + a

ce qui veut dire que a est nul.

Si A^ C on aura

A — C-fC=z:A + C — C = A.

En effet A — G est, par définition, une quantité telle qu'en lui ajoutant G, on a xV ; et A-f- G — G est une quantité H telle que

donc, en vertu du théorème précédent, H = A, c. q. f. d.

Soit maintenant N une quantité plus grande que A, B, A-j-B et en général assez grande pour que les opérations N — A-j-B, N — B — A, N — A -f-B soient possibles.

Par définition on a

N-|-A-[-B = N + B-fA,

je dis que Voji aura aussi

appelons Hi et Ho les deux membres de cette formule, il faut

prouver que Hi = H2- Or

on a ensuite

H^ + A = N-fB — A + A = N + B,

donc

d'où Ton conclut Hi = H2, c. q, f. d. Je dis que Von aura encore

Appelons H^ et Ho les deux membres de cette formule; il faut prouver que H^ =H2. On a

on a ensuite

Hj -p B = N — B — A + B =1 (N — B) — A + B,

ou, en vertu du théorème précédent,

H, 4-Bz=(N — B) + B — A=:N — B + B — A = N — A;

donc

II^ + B = H, + B et H^ = H,, c. q. f. d.

On a

En effet

On a si A > B

N + A — B = N + (A — B), car

On a Si A < B

N + A — B rr N — (B — A).

Soit Hx le premier membre, II2 le second ; il faut prouver que Hi = Ho. On a

Hi + (B — A) z= H^ + B — A = N -f A — B + B — A = N,

donc Hi == Ho, c. q. f. d.

Comme conséquence

N A 4- B = N — (A - B) si A > B — X + (B — A) si B>A.

On a

En effet ajoutant (A-)-B) au premier membre^ on a :s' ^ (A 4- B) — A — B = N -f A + B — A — B r= N,

en ajoutant (A-j- B) au second on a aussi N, ce qui démontre le théorème.