LES LONGUEURS, LES ANGLES

Nous appellerons longueur d'une courbe prise de .c\... x° en x^ ... x^' l'intégrale

t° et t^ désignant les valeurs de t pour lesquelles en général Xi = Xi° et Xi = x/, alors

ds- =: dx'i -f- dxl -}-•••+ '^'^'n

comme dx^, dx.,,... sont proportionnels aux cosinus directeurs ngente en ,.

dxi dx.)

de la tangente en ,r, r„ à la courbe, ces cosinus eux-mêmes

seront , , , ,...

ds ' ds

Nous dirons que deux courbes

x'i z:=: o i (t) , et ... Xi = ^i {il) . . .

se coupent sous l'angle V en rj.., .r„ si leurs tangentes se coupent sous cet angle, c'est-à-dire si

do^ d'l^ do„ d'h,,

dt du ^ ^ dt du

LA PANCÉOMETIIIE . 5^

Si l'on a

.r-j r=r a^-\- /coscp,, . . . , Xn = ^hi-\- t coscp,^

et S cos- 9=1 on aura

dx^ .=. cosoj dt, ...

dJl + d.x\ -\- ...—dfi^ds^

et t sera la longueur de la droite comprise entre «i, a-i... et .r^, ... .r„. Ce qui est d'accord avec notre définition primitive de la longueur d'un segment.

PANGEOMETRIE SPHERIQUE

En voilà assez, je pense, pour montrer que la pangéométrie que nous venons d'exposer et que l'on peut appeler pangéométrie euclidienne, se confond, dans le cas des espaces à trois dimensions, avec la géométrie ordinaire, à cela près que les mots point, surface, etc., n'y ont pas la même signification qu'en géométrie : ils ont un sens beaucoup plus général.

Nous allons maintenant étudier d'autres espaces.

Nous appellerons point l'ensemble de n nombres .r,, .r^,..., x„, non plus arbitraires mais satisfaisant à la relation

(i) .rî + ^l-f... +4 = R^

ce qui revient à dire que nous ne considérons que des points situés sur une sphère (i) .

Nous dirons qu'un point subit un déplacement dans le cas où ses coordonnées .r^.,. ^„ subissent une substitution orthogonale homogène

Xi =Z «jj J7^ -j- . . . 4- duiXn,

substitution en vertu de laquelle il reste sur la sphère (i) car

on a

jS la pangéométrie

deux ligures seront égales quand on pourra transformer lune dans l'autre au moyen dun déplacement. (Acception nouvelle.)

Nous appellerons plans les seules surfaces représentées par des équations homogènes du premier degré. Les plans seront alors des figures égales, c'est-à-dire transformables les unes dans les autres par des substitutions orthogonales homogènes.

Ti — •! plans se couperont suivant une droite. Ainsi une droite sera une variété à une dimension représentée par n équations telles que

(a) Xi =: CliU -{- biV

a et V désignant des paramètres variables, ai, h^ des constantes et u et V ne seront pas arbitraires parce que l'on doit avoir >; x^ = P».-. Comme on peut toujours poser m = p cos cp, (^ = p sin o, on pourra toujours remplacer les équations (2) par

Xi =r p {cij COSC3 -|- bi sino)

et si l'on fait cp = o, on voit que a^ 1^, a., i^... sera un point de la droite; donc X a- p- doit être égal à 11-, pour la même raison on devra avoir S è- p-= R.*^, alors comme X .x- est aussi égal à

> x-:=zR2^ \ rt2p2cos-c3+ 7 b-ù-sin-o-\-'2 7 ^«cp^sino coso

R- z= R2 -|- 2 > ab p- sin o cos '^

ce qui exige que ^ ab = o.

Les équations de la droite seront de la forme

Xi = Oi cos o -j- bi sin cp avec les conditions

Va2 3,,R2^ y/>2:=^R2, S^ab-O.

.^ Zj ^

LA PANGÉOMÉTRIE 59

La distance de deux points .r^... .r„ et y,... ?/„ ne sera plus la quantité ^^{y — x )-, mais l'invariant plus simple o donné par

•^iJl + ■^■:iJ-2 + • • • + -^nrn — RcOS 0 ;

la longueur ds d'un arc de courbe infiniment petit sera donné par définition pour la formule

ds- :=z dxi -\- dxô -\- ... -j- ^•*»"

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

Reprenons les équations de la droite (i) Xi:= cii coso -{- hisino . . .

on en tire

dxi = ( — Oi sin o -f- hj ces o) do

et par suite en appelant ds l'élément d'arc de droite ds'^ — R^do^;

(en tenant compte des relations S «"^ = 2 b-^Fx-, I ab^=o) alors cp = — - — ou simplement cp = — , si l'on compte les arcs à partir du point a^,..., €1^; donc les équations (i) s'écrivent

Xi = cii cos — + bi sin — - ,

si l'on exprime que la droite passe par le point c^, co,..., Cn on

aura

s' sin s'

a = ai cos — -f Oi — -r— .

l'élimination de a/ donne

JCi

«i sin 1- hi sin -— -

sm -—

Go LA PANGÉOMÉTRIE

Considérons maintenant un triangle ABC, soient jti,..., .r„ les coordonnées du sommet A; ?/i,..., y» celles de B ; r^^,..., s„ celles de C, les équations de AB et AC seront :

,r,siu — 1- n sin-:^-

sm —

Xi sin \- Zi sm —■

. h sm —

Xi,... sont alors les coordonnées courantes et a, b, c les longueurs de BC,CA, AB. Calculons l'angle A des côtés AB, AC, il est donné par la formule

Ces A

2ax ox bs os

-V— ^désignant la dérivée de Xi tiré de (jt) pour s = o et -. la même dérivée tirée de (3). On aura ainsi

(x.cos^-j,) (.,,cos A-,-.) ^

^'"'^=2j . c . I, --RT'

sm — sm -

k- cos A sm — - sm --- = > .r/ cos -— - cos -— >

ji-iXi cos — - R

> :r,Zi cos ^ + N p-j

R^ cos A sm -— sin -— r= R^ cos -jt" ces — R- cos — - cos -—

xi R R R R R

— R^ COS — — cos -Tr--|- R" cos ri— R Iv R

LA PANGEOMETIUE 6l

OU linalement

cos -— - =r cos — - cos -— — \- sm — — cos -— cos A ; 1». K 11 K K

c'est la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique d'où l'on déduit toutes les autres.

Pangéométrie hyperbolique

En pangéométrie hyperbolique, on appelle point l'ensemble de n nombres x^... .r^^ liés entre eux pour la relation

(l) jA + X^ -f + .4 i — Xn = R

qui est Téquation euclidienne d'un Jiyperboloïdc. Nous ferons usage de la notation S'a^ en général pour désigner une somme de termes dont le dernier sera pris avec le signe — en sorte que (i) s'écrira Ï'.r,-=R^ ou même !S'.r = R-.

Nous dirons qu'un point subit un déplacement quand ses coordonnées x\... x^ subiront une substitution linéaire de la forme

.ri — a^^x^-^ + cim-rn,

Xn z:z (iniX^ -\- -f- a,in X,i,

non plus orthogonale mais telle que

7 Oui (lui = ^ > '

Opi a,ii

alors on a aussi

\ o si p<q

^(piClù^:

I I Si

comme il est facile de le vérifier.

Les plans seront les surfaces représentées par des équations homogènes du premier degré, et les droites seront des variétés à une dimension situées sur des plans.

62 LA PANGÉOMÉTRIE

Nous pourrons mettre les équations dune droite sous la forme

a'i = p («/ cos ho -\- hi sin Ao)

p et o désignant des paramètres variables, a,, bj des constantes. En faisant ^ = o, on voit que le point pa, appartient à la droite, alors S'rt?p- doit être égal à R-, et comme S'x-^ doit être égal à R on voit que ^'b-ry- = R- et que 'L'ab = o, en sorte que les équations de la droite seront

Xi =: ai cos ho -{- hi sin ho avec les conditions

ya?=:R2, —^l/f—R^, \ aihi = o.

La distance ô de deux points sera défmie par la formule

cos ho = \ XY,

.Ty... Xn et ?/i... T/ji désignant les coordonnées de ces points, enfin la longueur dun arc ds infiniment petit sera défini par la formule

ô et ds sont des invariants de la substitution que nous avons appelée un déplacement.

Trigonométrie hyperbolique

Reprenons les équations de la droite

(i) Xi r= cii cos ho -{- ht sin ho

on en tire

dxi = {ai sin ho -f- bi cos ho) do

et par suite en appelant ds l'éljment de droite

ds := Rdo :

LA PANGÉOMÉTUIE 63

on pourra donc prendre au lieu de (i)

Xi = ai cos h-ir- -\- hi sin h -—-,

SX XX

s sera alors l'arc compté à partir du point «i... «;,.

Si l'on assujettit la droite à passer par le point c^.., c^, on aura, comme il est facile de voir

Xi r=

s' désignant la longueur de l'arc qui joint les points a^... et c^...

Considérons maintenant le triangle ABC, soient .r^,... .r„ ;

Vi--- Vn'i ^i--- ^« les coordonnées de A, B, C. Les équations des

côtés AB et AG seront en appelant c et b leurs longueurs :

Xi sin h — — ^ + Ti siii h -jr

- -TV. il

sin

sm h -

Enfin si l'on appelle angle de deux éléments dx^... dxn et dx\... dx'ji la quantité dont le cosinus est

^ dx ' dx' / i ds ds'

l'angle A de notre triangle sera donné par la formule (2) cos ha z:^ cos hh cos lie — sin hh sin hc Cos„A

que l'on déduirait de la formule relative à un triangle sphérique en remplaçant a^ b, c par a \J — i, b \J — i, c y/ — i .

Je ne développe pas les calculs, identiques à ceux qui ont été faits plus haut à propos de l'espace spliérique. Nous déduirons

64 LA PAXGEOMliTRIE

donc de (2) des formules analogues à celles de la trigonométrie sphérique en remplaçant dans celles-ci «, b, c par a \J — i, b \J — I, c \J — I.

La géoméïuie euclidienne

Tout ce que nous venons de faire jusqu'à présent est absolument rigoureux, c'est de l'analyse pure, mais c'est une ana- 13'se qui ressemble singulièrement à de la géométrie ; il y a plus, si nous supposons l'espace euclidien à trois dimensions, nous avons été assez loin pour prouver qu'il n'existe pas une seule proposition de géométrie que nous ne puissions déduire de notre anal3^se, à cela près que les mots point, ligne, surface, etc., y ont une autre signilication qu'en géométrie, et à cela près aussi que les prétendus axiomes ou postulats de la géométrie ont été rigoureusement démontrés.

Est-il possible d'identifier la géométrie ordinaire avec les résultats de notre analyse ? résoudre la question par l'affirmative, ce serait du coup faire disparaître tous les nuages qui planent sur les commencements de la géométrie, et ce ne serait pas acheter trop cher une méthode à laquelle on pourrait seulement reprocher les considérations d'un ordre trop élevé sur lesquelles elle s'appuie.

Malheureusement, il faut y renoncer, et notre analyse va seulement servir à nous montrer combien il y a d'erreurs dans les meilleurs traités de géométrie.

Si nous voulons identifier la géométrie ordinaire avec la pangéométrie euclidienne à trois dimensions, nous pourrons le faire en admettant que tout point de l'espace réel peut être déterminé par trois nombres ou coordonnées et qu'à trois coordonnées correspondent un point et un seul.

Ces trois coordonnées pourront être les distances du point à ce que l'on appelle trois plans rectangidaires.

^lais qu'est-ce que c'est au juste qu'un plan ?

Les définitions que l'on en donne dépendent de la notion que l'on se fait des ligures capables de coïncider avec d'autres quand on les déplace sans changer leur forme (sans parler d'hypothèses que contient la définition de la droite qui sert à définir le plan), or cette notion de la fixité de la forme est vague ; comme celle de la distance, elle dépend de nos sensations qui

LA PANCEOMETllIE 05

sont très grossières. Puisque nous ne pouvons pas dire exactement ce que c'est qu'un plan, renonçons à faire de la géométrie une science rationnelle et présentons les choses ainsi :

L'expérience nous apprend qu'il existe des surfaces bien dressées que l'on peut obtenir en usant deux corps solides par le frottement l'un contre l'autre, ces surfaces s'appliquent en tout sens l'une sur l'autre, ce sont des plans.

Sur les plans il existe des lignes telles que le bord d'une règle, lignes qui semblent coïncider dès qu'on leur donne deux points communs ; les plans et les droites convenablement associés donnent lieu à des figures plus ou moins grossières dont on constate expérimentalement certaines propriétés remarquables et dont on peut deviner d'autres propriétés, conséquences les unes des autres.

Cette première étude faite, étude dont il ne faut pas dissimuler le caractère purement expérimental et approché, on peut se demander si, à l'aide de certaines hypothèses, on ne pourrait pas relier les faits observés les uns aux autres, et c'est alors qu'intervient la pangéométrie pour répondre à la question, mais en laissant planer le vague sur la nature des choses sur lesquelles spécule la géométrie. Nous ne savons pas, nous ne saurons jamais au juste ce qu'est un déplacement sans changement de forme : une foule de choses ditlerentes répondent à l'idée que nous nous faisons du plan et de la ligne droite, et cela est si vrai qu'en supposant que la géométrie vulgaire soit absolument vraie, si le monde venait à changer de forme en se transformant par rayons vecteurs réciproques, nous ne nous en apercevrions pas, si les corps, en se déplaçant, restaient identiques à leurs images.

Si maintenant, au lieu de considérer les déplacements comme des substitutions orthogonales générales, nous les considérons comme des substitutions homogènes, la géométrie à trois dimensions devient la géométrie riemannienne, la géométrie plane devient identique à la géométrie des figures tracées sur la sphère, les théorèmes de ^^éométrie plane, qui ne dépendent pas du postulatum d'Euclide restent vrais, mais il n'existe plus de droites parallèles, et la somme des angles d'un triangle est supérieure à tz.

Si l'on admet qu'un déplacement est une substitution du genre de celles que nous avons considérés en pangéométrie hyperbolique, les théorèmes indépendants du postulatum Laurent. Théorie des nombres. 5

66 LA PANGÉOMÉTRIE

d'Euclide sont encore vrais, mais entre les angles A, B, G et les côtés a, b, c d'un triangle, on a la relation

cos A =r cos B cos C -\- sin B sin G cos h -=—

et si l'on fait B = — on a

COS A =z sin G cos h -5en sorte que A n'est réel que si

sin L cos « -77- I,

SX —

l'angle C doit donc être inférieur à — — . Il existe donc dans le

le plan une infinité de droites obliques sur une autre, et qui ne rencontrent pas une perpendiculaire donnée. Si l'on pose

sin G

cos h --

le plus petit angle ap donné par la formule

cos p ^

cos k -rr-

est V angle de parallélisme^ fonction commel'on voit de R et de a. La pangéométrie hyperbolique à trois dimensions coïncide alors avec la géométrie de Lobatcliefsky et de Bolyai.

Le postulatum d'Euclide est-il démontrable ? évidemment non, pas plus que cet autre postulatam : par deux points on ne peut faire passer qu'une droite, et en effet les pangéométries sphériques et hyperboliques sont aussi vraies l'une que l'autre, et pourraient aussi bien l'une que l'autre rendre compte des faits que nous observons, et si nous supposons R. suffisamment grand, elles ne différeront pas beaucoup de la pangéométrie euclidienne.

LA PANGEOMETUIE

sua LA REALITE DE L HYPERESPACE

On peut concevoir des êtres intelligents réduits à de simples surfaces, des ombres, si l'on veut, assujettis à se mouvoir sur une surface donnée, si ces êtres ont des sens organisés de telle sorte qu'ils ne puissent avoir conscience de ce qui existe en dehors de la surface sur laquelle ils sont assujettis à demeurer, ils feront de la géométrie à deux dimensions, pour eux notre géométrie sera de la pangéométrie.

Dès lors, il se pose cette question : doit-il exister un hyperespace à plus de trois dimensions, dont notre monde tangible et visible ne serait qu'une variété à trois dimensions ? Il est bien difficile, dans l'état actuel de la science, d y répondre. Si quelques phénomènes physiques pouvaient s'expliquer avec cette h3^pothèse, on pourrait peut-être placer dans l'hyperespace les âmes et Dieu, et expliquer la mort par la séparation de l'âme et du corps, l'âme étant censée toucher le corps dans l'état de vie, et cessant de le toucher après la mort, et de lui communiquer alors le mouvement.

Si l'on fait de la pangéométrie à trois dimensions, les coordonnées A-, y, z d'un point sont les distances de ce point aux trois plans de coordonnées.

Si nous appelons surfaces réelles ce qui sert de limite aux corps naturels. Nous pouvons alors considérer trois séries de surfaces réelles se déplaçant dans l'espace (avec ou sans changement de forme, ces mots n'ont d'ailleurs aucun sens), on pourra numéroter chaque surface de chaque système de telle sorte que ces numéros varient d'une manière continue de — 3c à -f- °*^ (Gt cela d'une infinité de manières), deux numéros étant affectés à des surfaces nécessairement différentes.

Si nous admettons que par un point de l'espace passent trois de nos surfaces réelles, nous pouvons appeler coordonnées de ce point les numéros des surfaces qui s'y rencontrent.

Trois de ces surfaces réelles, celles qui portent les numéros

G8 LA PANGEOMETIUE

zéro, seront, si l'on veut, les trois plans de coordonnées d'une pangéométrie à trois dimensions.

Le plan est donc une surface arbitraire, ou pour parler plus exactement, on peut faire toute la géométrie, telle quelle est enseignéedans nos livres classiques, non seulement sans définir le plan, mais en appelant plan une surface arbitraire.

1° 11 est donc impossible de donner une définition précise du plan.

•2° Il faut se résigner à faire de la géométrie une science physique et expérimentale ,

Il faut se résigner à regarder la géométrie comme un langage propre à coordonner des faits, ou plutôt des apparences, et à ce point de vue elle peut à volonté être ou ne pas être euclidienne. Si l'on a choisi pour l'enseignement la géométrie euclidienne, c'est qu'elle a paru plus simple eu égard à la conformation du cerveau de nos ancêtres. Il n'y aurait rien d'étonnant, s'il existe des êtres intelligents dans la planète Mars, à ce que leur géométrie ne fût point euclidienne, en un mot à ce qu'ils aient une autre idée que nous du déplacement sans c/iange/nent de forme.

ÉVKEUX, IMI'UI.MKRIL: de C h au lis lIKRISSETf