VARIÉTÉS SINGULIÈRES

Le plan tangent à la surface

f{x^,X,, . ..,Xn)=0

LA PANGEOMETIÎIE

a pour équation

ou en posant

-èT-P" •••'â;^— ;-''"-'

et, en appliquant la règle des fonctions implicites,

Xn — Xn = p ^Ç^^— JC- 1) + . . . +pn-i (X„ i— Xa-i),

OU encore

X„=r/?jX^ + • . . -hPn-l X,j i + (.r,j —p^X^— . . . —pn^iXn-i) ;

le plan tangent renferme donc n paramètres

Pl,---,Pn-i et ^=Xn—p^.r^—...—pn-iJCn-i,

mais ces paramètres se réduisent à n — i distincts car 8 est fonction de pi,..., Pn-i comme nous allons le voir. On a en effet

d(i — dx>i — p^dx^ — . . . — pn i dXn-i — X^dp^^ — . . . — Xn-ldpn-i

mais

dxn = />! dx^ + . . . -{-pn-i dxn-i,

donc

do = X^dp^ + . . . + Xndpn

et 0 est fonction de/;,, p.,... Pn •

Il résulte de là que l'on peut assujettir le plan tangent à une surface à n — i conditions. On peut, par exemple, l'assujettir à passer par « — i points donnés, on aura alors n — i équations qui permettront de cah^uler les n — i quantités .r^, v.y... ./•„^i qui déterminent le point de contact. Supposons maintenant que l'on pose

Cette équation intégrée fournira une infinité de surfaces, car

56 LA PAXGÉOMÉTRIE

son intégrale dépend, non seulement de la forme de F, qui est arbitraire, mais en outre d'une seconde fonction arbitraire amenée par l'intégration.

Pour une pareille surface le plan tangent sera déterminé par n — '2 conditions. Il pourra se faire que l'équation de la surface considérée satisfasse à plusieur.s conditions analogues à (i), cela diminuera encore le nombre des conditions auxquelles on peut assujettir le plan tangent.

Dans l'espace à 3 dimensions les surfaces singulières dont nous venons de signaler l'existence portent le nom de surfaces développables. Nous leur conserverons ce nom dans l'hyperespace.