DIET
Démontrons que les formules (1) sont valables également pour tout n < n, donc.toujours, si les nombres B sont convenablement choisis. Désignons par À le maximum de &[S(r,n)f pour nr <n, et lorsqu'on fait varier l’état à l'instant r. Le théorème de Tchebycheff nous enseigne
(2) Pris Sol Mere
nous pouvons déterminer B de façon que 1 —- Sa D ré et onaun
résultat analogue pour la seconde formule de (1).
On peut donc quel que soit y < 0 déterminer un B de telle sorte que pour tout 7 on ait (1).
Ceci établi considérons la suite.
il 2 (3) A dE PNR D CLEA et la suite adjointe 1 2 (4) S( 2 S( x CL Après n épreuves successives pour déterminer les X!°,...,X( Jes variables S°, ..., SÛ prennent un certain système de n valeurs. Pour chacun
de ces systèmes possibles considérons la valeur absolue maxima. Ce sera une variable aléatoire Y,. Nous allons borner la probabilité pour
que Ÿ, > N,. On a évidemment (5) Pr| | Yhn | æ Nil = pr be > N;] + Pr re £— NA] (6) Pr | Yal = N;] = Pr| | s% | = Ni]
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 47
cherchons une borne inférieure de
Pr[S”>N,-—B|
on a
PrIS"aN, —B]=Pr[veN] nPr [ss -B]
où p, désigne la probabilité qu'on a SE >N, mais SU Ni oies Ne, sachant que Y,=N, et Pr [SH O 2 B] la probabilité pour que SPESOES (in 1)=2"BsachantqueS EN... SUD ENASOEN, / . : E. | Pr'[S{i, n—ù) > B]:- 5TF7
Pr[SSN,-- BJ Pr{YieN]) Denis =Pr [Va sN5
on trouve par conséquent PAINASN IE 2 Pr [STE NT "R] et d’une façon analogue Pres N]=2"Pr[S®<N;+8B]:
En sommant ces deux inégalités on trouve en tenant compte de
(5) et (6)
Pr[ISMIaNJ<Pr[IYi=N]<2 "Pr [IS I2=N, —B] Nous avons obtenu le
Lemme I. Quel que soit l’état initial, il existe un nombre positif fixe B tel que pour n quelconque et pour N, = B, on ait
PrLIS®I=N lePriiX Ie N,]<2%Pr [IS IN, — BB].
5. Lemme 11. Quel que soit l’état initial, si z, est un infiniment grand de l’ordre de V/Ig, n, alors nous pouvons écrire
où
48 W. DOEBLIN
Nous savons en effet qu'on peut écrire
. LE = Een) Prl'a —— o|— — e Fr nl al e A V°27
nr P PHASE ON Pr AIRES = e 2 dt+O(n 5) a V2
t2 2 1 2 [ CO ROIE— : eee (ne) 0er< ao
Dr 2 2x Le V/za 1224 et en remarquant que si 2, est infiniment grand comme V//g,n alors ; D 2y 1 Dee Tn mis “a Pr[SV > V2n2, = ———e “all se OUTRE) PRE V’r2, 2 Z}
A 1 2 (n —— —Z = 222 = 0, 0 (7 1) Z; e RE Zz I il en résulte le lemme.
6. Théorèmes sur les Séries à termes aléatoires positifs et en-
co
chaînés. Considérons une série à u, de termes aléatoires positifs encha- 1=1 înés d’une façon quelconque. Nous définirons la probabilité P de convergence de cette série avec KoLMOGOROFF par u, >= | :
Démontrons d’abord le théorème,
Théorème: Pour qu’une serie à termes aléatoires positifs con-
. mn 'OMPÉENTANE lim lim Pr | LR E —> 0 n —> m —> Far
verge avec probabilité I, il suffit que la série » & (u,) converge. m - Démonstration. La probabilité pour que à u, >e est, d’après i=n+ 1 l'inégalité de Tenesvcnerr appliquée aux 6 (u,), plus petite que
ne @.(u,) | «
i=n+1 Ç 1 comme Y & (u,) tend vers zéro avec — i=n+1 nl = m :
lim lim Pr cu ne n —> m —> 0 a ds St:
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 49
En particulier en considérant une série formée de termes uw, — 1, si un certain événement A, arrive à la ième épreuve, — 0 dans le cas contraire, on obtient un lemme que M. Canrezur a tiré d’une inégalité de BooLe.
Lemme III. Si nous considérons une suite illimitée d'événements dépendants ou indépendants
An À respectivement de probabilités ERA Le, Prof; se.
et si la série de termes général Pr [A,] est convergente, alors la probabilité de la réalisation d’une infinité d'événements À, est nulle.
Si nous disons que deux suites { w:} et { u;} sont équivalentes (notion due à KHINTCHINE), si la probabilité pour qu’on n’ait qu’un nombre fini de fois u, u, est 1, alors une condition suffisante pour cette équiva-
TC
lence est évidemment ÿ PA EME TS, =]
Théorème I: Pour qu'une série à termes aléatoires positifs
1 u, converge avee probabilité I, il suffit que la suite u; soit équii=1
valente à la suite u, où u, =u, si u, <1,—0siu, > 1,ef que
pe
Le théoréme I n’est en général que suffisant, il existe pourtant des cas très importants où il est aussi nécessaire, tel est p. e. le cas des u. indépendants. Plus généralement on démontre sans trop de difficulté le Critère : S’il existe un n et un x > 1 tel que le rapport entre la probabilité conditionnelle Pr,, [a < u, < b] (probabilité évaluée lorsque les 4, ...u, ; sont connus) ef la probabilité à prioriest pouri=n
comprise entre - et \(a et b quelconques), alors si les conditions
du théorème I ne sont pas satisfaites, la serie À u, diverge avec probabilité 1.
On peut affaiblir notablement les hypothèses de ce critère. On vérifie facilement le
Lemme IT. Si (les notations étant celles du lemme III) la probabilité conditionnelle Pr, [A,]ne se distingue de la probabilité à priori que d’une quantité < e; avec È &; convergente, alors si
ZPr{A;]
diverge, la probabilité de la réalisation d'une infinité d'événements dela suite Srer A 0 -prrestd.
Les critères ci-dessus peuvent s’interpréter comme critères de convergence absolue d’une série à termes aléatoires.
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ji 3 Démonstration de la première partie du théorème (e 4
F2 Soit n,le plus grand entier < e l8P
sp n,= € He posons .
,=V2#n(gn+clgin).
Calculons
) Pr[ls” la, ,—B]=
S'? /2 R5A B Rose BE Lg. FE 2 SC P Var Da, (en, i+clen, "V2
(br ne B)
Bon = pos ep HE MENNE te, pe,
y . se . FR x 1 P274 CE étant un infiniment petit d'ordre supérieur à jen et =, ete, deux le]
infiniments petits si p —-> +. Le rapport sera infiniment petit
se d'ofdre es Considérons (7), le lemme II sera applicable
à + NE Rides D Pr [ | S( p) | = Aa s — B] — wr p(ogp) rai + Up).
On obtient de résultats analogues pour Pr [St > Ya àŸ Donc en
vertu du lemme Î:
(8)- Pr [ | Ya > d
