FRE Î F; D

Comme RE converge vers S,, il suit que

8[S' 1] — MDI, +, +0, — 1 M +-

À Gt 15) (x M) +0,

2) S;, — 0 et, comme il résulte de l'expression de 4° (a)

Nous pouvons mettre la partie périodique de r sous une autre forme. Soit

MAD Per (Ers pi Comme le système issu de E;, € 1 sera à l'épreuve n dans le sous-

groupe Re [1 —1 A — l (mod d)] , il suit, en tenant compte des valeurs de Pré, que

5) 10) KE (M, I M) am (M,., rest: M) Fee 5 +(M,., ". M) où A —=n; (mod d) et nous pouvons écrire

S[S*]—>1M+(M,,, - M) +... (M, — M)+ 2S(x— M) Posons SUN X; où X° —x — M, ,= xisià l'épreuve t à partir de E; l'état E, « 1 est réalisé. Quelles relations y a-t-il entre SU et se

Nous avons Ki Xx" — M, oùt—l,—1!(mod d) donc

sue = 10 + 2 M, ST n M + (M,., ri M) nee tes M)

ou

Sms + e[s"] 2) BOX, M).

42 W. DOEBLIN

Si nous voulons calculer la partie principale de

fge() (2) 12 8(s; - 8IS°L

comme Ÿ Re (x, — M) reste fini, nous pourrons nous borner à calculer

la partie principale de & [S; *]%. Remarquons encore que

&[s®] D) RW (x, — M) > » S, (x, — M)=— ÿ Su x 1 i=1

et passons à

B (S, "] 2 n n—1 n Lie 2 8x9 5 de Ce » el LE = T=t+1

Dre LEE 1 est égal à Y ee x? donc 1 r Lelolen Zn, x t=1 i=1 8lx! D ques D PE 8 [S:; 9] — D Fa es RU 1) ci

(TO LINE RTS RO y 1 va D P; SALIRE

Il résulte sans peine que

fl

nel 26 LEE ÿ AE à D M; Sy x: x!

par conséquent [el / (n) 2 2 +1 12 4 / &fs; Jln—5 Di +221, Li Do à

Si nous groupons tous les états de 1 ..et désignons par AE .. des

sommes étendues à 1 etc.:

= D0,(x M) +... DU, (x M +

CEE id

DU PPRMURME M,)(x,- M).

(ER) el ko

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 43

Considérons la somme

> dE HS; (x, —M,) (x, > M)

iel KkEQ

elle se réduit Fa ÿ: RES X, X4 SCA ON A À Sy = 0 et

iel KEQ keQ

VA Sy —

tel Il résulte que

r E r r M? 2 M° D NS as ss :

$ 9. — Cas d’une matrice indécomposable: Théorème du logarithme itéré

1. Introduction. Nous avons démontré que si nous nous trouvons à l'intérieur d’un groupe final, alors quel que soit l’état initial, la probabilité pour que

QG) Ÿ; ne Se

S" 1 Mg tend vers zéro si nr tend vers l'infini. (car ARE est borné |. n

Donc à l’intérieur d’un groupe final la loi des grands nombres est applicable. Nous avons de plus étudié d’une façon assez complète les Li du point de vue Bernoullien, c’est à dire nous avons étudié la loi de probabilité de S®°? pour des r très grands, mais déterminés.

Maintenant nous allons étudier les Si du point de vue des probabilités dénombrables. Nous n’allons plus nous demander si une certaine propriété est satisfaite pour un n particulier, mais nous allons considérer tous les 7 et nous demander si une propriété est satisfaite pour un nombre fini de #7 ou pour un nombre infini de n.

En particulier nous allons nous occuper de la question suivante. Pour chaque n isolément si nñn >< la loi des grands nombres s’applique, St)

la probabilité pour que ve M|>:e>> 0tend vers zéro quel que soit &

Mais si nous considérons tous les #7 à partir d’un certain rang N, il

pourrait se produire que quel que soit N on ait au moins une fois dans le Se

— — M nl

courant des épreuves à partir de N, > s«, et alors on aurait

cp ETS w

évidemment > e une infinité de fois. Les indices #7 pour les

A4 W. DOEBLIN

St)

quels + __M|==: formeraient une suite infinie dont la ,densité“ par

rapport à tous les 7 serait évidemment nulle. Dans ce cas, bien que la loi des grands nombres soit applicable, la loi forte des grands nombres ne le serait pas (M. CanrTeLui à qui l’on doit cette question a baptisé cette loi d’un nom qui nous parait mieux indiquer de quoi il s’agit ,la legge uniforme dei grandi numeri“: la loi uniforme des grands nombres).

Dans le cas qui nous occupe nous verrons que non seulement la loi forte des grands nombres sera applicable, mais qu’on peut la préciser d’une façon très exacte.

Nous avons deux cas à distinguer : 5 — 0, alors 1 — n M est déterminé par la connaissance des états extrêmes, et Se — nMest borné,

SE 2 n4M

donc < A t la loi forte des grands nombres s'applique.

Le cas restant est plus intéressant: 5 7<0. Alors on a le 2. Théorème. A l’intérieur d’un groupe final sis53<0, la probabilité pour qu’on ait pour au moins un n > N

IS —nM > 25 n (Lg,n + c Ig,n)

Sétu —1L'sSi0s à. tendra vers 0 sic Se

(g,n = lglgn, lg;n = Ig.lg,n). Le théorème ci-dessus s'appelle théorème du logarithme itéré.

3. Donnons une esquisse de la démonstration, qui est assez longue, en essayant de faire ressortir les idées principales qui sont les mêmes pour toutes les démonstrations du théorème du logarithme itéré.

Nous montrerons d’abord (lemme I) que si pour un n<n, | S,-nM| est très grand, alors on a une probabilité assez grande pour que Se, sil” M) soit aussi très grand. Il résultera que si nous montrerons que pour une certaine suite croissante n, (= 6:2:,.9,0ù8/ 4 parur d’un certain rang LS, - ñ, M} <(u,) avec probabilité très voisine de 1, on aura aussi|S, — nr M|<9 (2,) (an n,) avec probabilité très voisine de 1.

Nous évaluerons ensuite la probabilité pour que |S, —aM|>9(n) (lemme IT).

Enfin le lemme III nous donnera un critère suffisant (et sous certaines hypothèses (lemme IIl) nécessaires) pour qu’un événement se

réalise avec probabilité 1 ou O une infinité de fois dans une série d’expériences.

En appliquant les lemmes II et III aux variables | Sa mi b A

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. REGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 45

étant convenablement choisi, on vérifiera que la probabilité pour qu’on ait pour au moins un p > Po.

| SA ds ñ, M | ES V2 ane (£, LPS + € [83 fl) SA

B étant une certaine constante, tend vers O avec !/,, et l’on en déduira que la probabilité pour qu’on ait pour au moins un nr = N

S,—n M|>\/25 n (lg,n + clg,n)

| < end vers O avec N SHC 5

Enfin pour montrer que si € < on ait avec probabilité 1 une

sk D L | infinité de fois

Ée —nM > V2 n (lg, RES, 1)

on montrera qu'il existe une suite d'indices n, très rapidement croissante,

pour laquelle on ait avec probabilité 1 en vertu du lemme INF une infinité de fois

| = AR > re M. > V 257, (LA, TS (831)

ce qui démontrera le théorème.

Pour le lemme I ainsi que pour la démonstration propre du théorème nous suivrons autant que possible la marche qu’a suivie M. Can- TELLI dans son mémoire ,Considerazioni sulla legge uniforme dei grandi numeri e sulla generalisazzione di un fondamentale teorema del Sig. Pauz Lévy“$), où il généralise dans le cas des variables indépendantes sous certaines hypothèses les résultats de M. Pauz Lévy dans le cas BERNOULLIEN. Toutefois dans la partie € < 2 nous allons modifier un peu le raisonnement de M. M. CanrTezui et Lévy pour employer un raisonnement de M. Kozmocororr, qui nous parait préférable.

4. Démonstration et énoncé du lemme. I. Nous supposerons ici pour simplifier l'écriture M—0. D'autre part comme dans tout ce qui suit l’état initial n’a aucune importance (l’état initial est dans le groupe

final) nous supprimerons l'indice en bas dans S{”. Nous poserons

D US NES Test),

8) GIioRN. Ist. Ital. Att. t. 4, p. 327—350, 1933.

46 W. DÔEBLIN

Quel que soit l’état à l'instant r, il existe un n tel que pour tout

n> non ait

Pro

V/n.5 S : At AAA LS PA Ne DEL S (r, 1) — Ci ar Les tend vers la loi symétrique de Gauss, uniformément par rapport à r.

A fortiori, il existe un n tel que pour tout n>net pour un nombre quelconque B >> 0 on ait

AE RN TE (1) FE Pr[ S 6, ie B |