S® | «| LEA HR

Nous avons donc démontré que si N—>c, la probabilité pour qu'on ait pour au moins un 7 >> N (M — 0)

LS V2 n(lgn+clgzn)

tend vers zéro avec X Si € ee . Ce qui était ja première partie du théo-

rème. Remarquons qu’on aurait pu aussi ecrire au lieu de

V2 n(lg,n<+clg3n)

l'expression 28% Ge, BE c1g, 80)

B — 8 {50 — 8[S/]}, l'énoncé aurait été le même.

: : : : 2pl Soit 7, maintenant le plus grand entier compris dans e°? *?

de , be à 1 8. Démonstration de la deuxième partie du théorème | C = 3)

2p lgp

= e EE DES

cherchons la probabilité pour que SOS S EU Va 0 ne

c’est à dire:

RTE S RTE ns en) PT V2, Su) -/ IR (9) 227 Lol it lgslh 1) ñ, ñ, D OMETU PAT hs, LE RER ir Leu An Es NU n PT p—l P £g P T pi phase p—1 —— (1 +6) re

lgn, = le p+lgsp+lg2+e Ig3n, —18,p +e,

ETC :, étant des infiniment petits si p —> ©°.

52 Le W. DOÉBLIN

On voit que le deuxième radical est un infiniment petit d'ordre

On peut appliquer aux SP? — S"r-1]e lemme II. > -

S'p Lr S'p—1 — XUp—1 +1) hs ve es Xp)

est une somme S’? particulière. On trouve donc par des calculs simples pour (9)

1 1 l =, —— - EU) Up -> 0.

D Pi M / rue me 4 P 12 p .(Ig p)

l ae , ae Pour ce D? le terme ci-dessus est le terme général d’une série

divergente. Nous ne pouvons pas en déduire immédiatement qu’on aura

une infinité de fois| S'P— S'P1}>9, +2%, . Pour le démontrer P p—1

nous allons considérer la suite d'événements

(A) Stan sente, +24

na ll) p—1 4

Ces événéments ne sont pas indépendants, mais comme les épreuves correspondant à S°?? — S"#-! sontdistantes de plus de r,,,épreuves de celles correspondant à S!2-2 - SU2-3) Je théorème presque-ergodique nous enseigne : (l'état initial des S° étant connu) que la probabi-

lité de À, lorsqu'on connait les résultats des épreuves ayant déterminées

A,... À, , se distingue de moins de K \’?-1 de la probabilité a priori,

où À < 1. La série > \2-lest convergente, nous pouvons donc applip=

quer le lemme I aux À,. Il résulte qu'on a avec probabilité 1 une infinité de fois

S"2p S'2p- lex 24 | | Tn9p FE Top 1 S

Comme on a d'autre part avec probabilité O (première partie du théorème) une infinité de fois

non = , ST , SEA | 2 il suit qu’on a avec probabilité 1 une infinité de fois

| Sn) | > 4 cd td

On voit facilement que le théorème du logarithme itéré reste encore valable dans le cas où il n'existe qu'un seul groupe final — cas semi régulier —sisz0,.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 53

$ 10.- Cas général: Loi de probabilité limite des S!” et les moments

Supposons que nous avons plusieurs groupesfinalsG, , (GERS Ge, , avec les probabilités limites Pr [i, G, | pour que le système parti de l'état initial E, passe finalement à l’intérieur de G,.

Nous avons calculé la loi de probabilité limite de S° lorsque E, appartient à un groupe final. Nous avons vu que si nous désignons par

o Sr) SU) Ep At 2 M, et ca les parties principales de él L et de &G FE ,

n S Me V’n type s,, et sis, —0, S% — x M, restait borné. (E, appartenant tou-

jours à G,).

1. Maintenant prenons unétatE; initial quelconque. Fixons m tel que

tend vers la loi de Gauss avec: l’écart

alors sis, “0,

> OR TANT G,]— <(a=a,,...,4,) et considérons SDS

se décompose en deux sommes S(” et Re ER De Cd PME tant (m—+ 1)le système se trouve dans G,, alors si nr est suffisamment grand (m+1 ( ER

est, sauf dans des cas de probabilité arbitrairement petite, compris entre M,—uet M, +vy(1-0 quelconque). Si r augmente, m restant fixe, n — m

alors, se étant borné, de: [ n tend vers zéro et n

—> |; nous pou-

vons par conséquent prendre nr suffisamment grand pour que, si le système à l'épreuve m se trouve dans G,, on ait, en dehors de cas de pro-

babilité < :, M—u<S®in<M, +

e et p étant arbitrairement petits. Remarquons que nous nous trouvons à l'épreuve m à l’intèrieur des groupes finals avec probabilité plus grande que 1 — Ze, et, à l'interieur de G,, avec probabilité > Pr{i,G,]—<. Il suit, s et w pouvant être rendus arbitrairement petits sin et m augmentent, que la loi de probabilité de Se | ñn tend vers une loi limite prenant avec probabilité P r[i, G,]les valeurs M. Les espérances mathé-

54 W. DOEBLIN

matiques des puissances de se \ n tendent vers les espérances respec-

tives de la loi limite (car se : n reste borné). Donc

8[SViIn]-> D'Pr[éG]M=M,

je — M | > D'Pr[iG,](M-MP= VW.

ln a

On vérifie sans peine que & (52 — n M reste borné et est asymptotiquement périodique et que

’ lp M [ee ZPr[iG, (M, — my]

reste aussi borné et est asymptotiquement périodique °). 2. Considérons maintenant le cas où touslesM, — M, (où au moins

Pr[i G,]—0 pour M, M;). Alors

1 Qc — sf — M,

tend vers zéro en dehors de cas de probabilité arbitrairement petite : La loi des grands nombres s'applique aux S Nous pouvons raisonner

comme ci-dessus sur les 2 (X® M). Désignons par F(” (X) la probat

. S”—Mn ce bilité pourque ——— < x, on trouve sans aucune difficulte que

V’n F9 (x) tend vers ba À

@) ea F; (x) = ve Pr, G, | er | e 202 dt

@) | +2 DÉTE(. Lie

(1) > étant étendue à ceux des groupes finals pour lesquels 5, <0

(2) et 2 aux autres. (On a EME = Six 0, = 0 SE O0)

3. Nous avons trouvé la loi limite de probabilité de SP dans le cas général.

Il y a trois cas possibles: 1. Les moyennes M, des groupes Jinals G, qu'on peut atteindre de E; sont différentes, alors se in

9) Voir numéro 5.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÈGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 55

tend vers une loi discontinue prenant avec probabilité Pr [i, G, ] la valeur M,.

2. Les moyennes M, sont toutes égales à M, un des 5, correspondant à un Pr [i, (6 > 0 est non nul et alors (ee -n M)| on suit une loi qui tend vers une limite de la forme F; (x).

3. Tous les 5, correspondants aux groupes G, atteignables de E; sont nuls, et les M, correspondantes à ces grounes sont égales à M, alors

S®rM

reste borné et on vérifie que sa loi de probabilité est asymptotiquement périodique.

4. Alintérieur des groupes finals et pour le cas 1) (M,< M,) nous avons vu que les parties principales des moments tendaient vers.les moments des lois limites. Nous allons montrer que cela est vrai encore pour les parties principales dans le second cas, on le vérifie aussi immédiatement dans le troisième cas. Plaçons nous dans le cas 2) et bornons p. e. l'erreur commise en évaluant la probabilité a V/n <S®°-nM

< b V/npar la formule F,(b) —F;(a). En remarquant que la proba-

bilité pour qu’ à l'épreuve d'ordre m — n12 on soit à l'extérieur des gronpes finals est Pa que si à l'instant m le système est dans G,