ROM

suit une loi de Gauss à une erreur d'ordre inférieur àn 1!

V’n--m près, il résulte assez immédiatement que l’erreur commise sur les proba-

bilités a V/n <S® - n M <bV/n, en les évaluant par la loi limite est de la forme 0 FL x ï), Pour les grandes valeurs soit 5 le maximum

des 5,, on a si E; appartient à un groupe final

ET ni 1 Pr[|S®-rM|> PLATE TERETEAIEE 0 (exp: 7 Rad) D'autre part la probabilité pour qu’on soit à l'instant V/n encore

à l'extérieur de 2 G, est < K 1%. On en déduit sans peine que 2 4 SD ni 1 POST MU a nr] € To exp & a)

De cela résulte comme dans le $ 5 que aussi dans le cas 2) les va-

leurs principales des moments tendent vers les moments des lois limites. En particulier dans le cas 2)

8[S;— a M} => S'Pr[i,G,]r, fn 2

56 W. DOEBLIN

r . 2 A Nous avons donné l'expression des 6° dans le $ précédent. 5. Nous avons dit que

1 2 2 2 | Les Men | En MEN

est asymptotiquement périodique; vérifions cela. Désignons par &, l'espérance mathématique sous l'hypothèse que le système entre à la tième épreuve dans le groupe final G, (E, « G,) par l’état E

Alors 8° désignant l'espérance mathématique sous l'hypothèse que le système se trouve à la n° épreuve dans E;

8[S° — n MP — 2 “ee [Sr M]?

EreZG,

+... + D Pr per [S% =rM] :

+ ZPP Es" 1 MF J

les E; désignant les états à l'extérieur des groupes finals. Le dernier terme tend exponentiellement vers zéro et peut donc être négligé. Pour

BP [IS — » M]? (E, « G,) écrivons 89 [9 na MP — 89 [SM] +27 (M, —-M)8/[S"-nM,] + n° (M, — M}.

Nous avons BUS a M] = 80 [SI — + M] +2 SP [SO 4m, ] 8 [SE 70 — —(n—t) M, ]+4 8 [S%° — (n— 09 M2.

Le premier terme est majoré par 4 f° k° si k est le maximum des X,, le second est le produit d’un terme borné & [Se —(r—t)M,] par un terme majoré par 2 f k, le troisième ne se distingue que d’une quantité bornée de (17 —t) ca Nous pouvons donc écrire

ls -—-n MF —na+R?

RP étant majoré par une expression de la forme C f, pe ne

donnera pour 8[S*— n M;f? qu'une contribution bornée, car

2 Py Put < > nee

t=2 Eje2G,, t=2 EG

co

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. Lo

converge. Donc comme

SE KT dr Fu \ Pa ]= 24h, Pix —> Pr |i G,]

4 P® — pri, G||<kx'

nous aurons 1) o(1 2 , 2 nr [P® 80 (S? — 1 M, + dt | =) Pr LE G,]n sk R étant borné. Considérons maintenant

D: [P PCT (SRE ML) L PE pK (S' — n M )|

Éne Ge

à Ceci est précisément le de cent de l’espérance MENQUES tique du produit

(SRE) 16e où «oo — 0 si à la n'i"® épreuve le système se trouve à l’extérieur de G,, — 1 si à la n'ime épreuve le système se trouve dans G,. On a en désignant par PU” [5 G, la probabilité pour que le sys-

tème se trouve après 77 épreuves à partir de l’état E, dans G,

8 [(S!” — x M,) 60 => ptet 9[e, G,] (x, — M,)—

+ ” LEA nl (x, œ M,) te D Ge ES M,) D PE pos [e, G,]

E QE G,, Ege >G,

Dire G1-s,Pr[G.]1+0 (1 }6E0,)

LA et ni n=nNe Set de —+-0 , (introduction $ 2, exposé & 6). nl

LEE Fo (Xo- M,) = Prfi G,] Dr He (Xe = M,)=0

Le carré de l’écart-type est donc égal à 8[S%- M} = #3 PrfiG,](M, -M)?+a) PrfiG,]l + 2n 2 (MM). par SePr[eG](xe M,)+

an) (M, — M). EL ( {8 ie +42) Cxe — M) +R) R, (n) restant borné. Nous pouvons écrire, quel que soit p

ns 2 21e — M) Pr[e G] (4e — M) = (M M) (me Me) We.

58 W. DOEBLIN

Par conséquent

8 [SVM TEM Win 2iprlé [i, G,]# 3498 NE

+2n ù (Se +47) (x — Me) (M, —M)TFR;(G) g=1

et on vérifie sans peine que dans le cas 2) & 5 al MF se réduit à on > Pr [é, G,] c° . La partie périodique È (rs (Xe — M,) (M, = M)

sera nulle en dehors du cas 2) dans le cas non oscillant et accidentellement dans d’autres hypothèses.

On voit par exemple en tenant compte de la forme de D que la partie périodique est une combinaison linéaire à coefficients périodiques

enr des M,,, — M, où M,4,= ue x, P,. Il suffit que tous les M,,,

Eke (o) soient — M, pour qu'elle s’annulle.

La partie principale de & [ses So Jf est la même que celle

de 8[S® — n M;f car 8[S° — n MP = 8{$9 — 8[S°[ + {8[S°] - x M}?

et 8[S°] — n M, est borné

6. Dans le cas 2) et 3) la loi des grands nombres est applicable, et la loi forte des grands nombres l’est aussi. Dans le cas 3) ss. = LM;

reste presque sûrement borné dans le courant des épreuves et dans le cas 2), soit £ le maximum des 5, avec Pr [i, G,] > 0. Alors la probabilité de la réalisation d’une des inégalités

IS —nM,|>V 25 n(lg,n +21g,n)

pour 7 > N, tend vers zéro si N -> ce,

Mais aussi dans le cas 1) on a une certaine sorte de loi des grands nombres. MM DE Finerri et KHiNTCHINE (dans certains travaux) disent que la ,loi des grands nombres“ est applicable si

lim lim lim | 1-0 M0 > ES Aa

SMS) MA ne

Cette loi des grands nombres est vérifiée ici, comme on constate sans peine.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 59

$ 11. — Retour à l’étude du mouvement. Les fréquences

Nous avons rappelé dans l'introduction les résultats démontrés dans l’exposé sur le mouvement de notre système. Nous avons démontré que ce système passe nécessairement à l’intérieur d’un groupe final et qu’il effectue à l’intérieur de ce groupe un mouvement circulaire entre les sous-groupes cycliques. Nous avions évalué la probabilité pour qu’à l'instant n le système se trouve dans un état déterminé. Maintenant nous allons nous occuper des fréquences de cet état dans le mouvement. Nous

désignerons par mt (j) le nombre des réalisations de l’état E, dans n épreuves à partir de l’état E,. Etudions la loi de probabilité de He (ÿ) Les m°° (j) seront évidemment des S!° particuliers pour lesquels x, — 0 et x, — 1.

Nous pouvons donc appliquer aux HE (j) les résultats démontrés plus haut pour les SU Commençons d’abord par le Cas d’une matrice indécomposable. I résulte alors que @) ç 1] — (@) |; 8 [mi (D]= 1, n + ki () k(° (j) étant asymptotiquement périodique @) Ç;: 2 m — nr pete es V/n :

Nous avons vu dans le $ 8 l'expression de 5°. Si nous transportons les valeurs des x; dans la dernière formule du $ 8 il vient sans difficulté

: d 5, 0. Si cette expression n’est pas nulle, alors nous savons que sin (0) LATE ITU, tend vers l’infini- ir suit une loi tendant vers la loi de Gauss 5j I

réduite. La fréquence de l'état E; en 7 épreuves sera donc si n est très grand en dehors de cas de probabilité très petite très voisine de Il; (loi de grands nombres) et l'écart on (j) — il; n suivra une loi tendant

vers une loi de Gauss avec écart-type 5, V” n.La probabilité pour que

(a) |; ; ; m; ; pour au moins un 7 > N l'écart ro) 27 le de la fréquence avec la 1 ë,

fréquence moyenne où théorique soit plus grand que

2 5 \/—i (gen +clgsn)

tend vers zéro sic > aa et est égale à 1 si c < D:

60 W. DOEBLIN

Cette dernière proposition établit nettement le caractère de stabilité à la Poisson du mouvement dans le cas 5; 5< 0. Ensemble avec les

autres résultats ces propositions permettent de caractériser d’une façon assez complète le mouvement de ce système à l’intérieur du groupe final (si les 5; sont < O).

Nous devons maintenant envisager le cas:

Gus 0!

Comme P,> 0, il faut que 1 - P, +28; — 0. Nous avons analysé le cas où 6, — 0 dans le $ 6. Nous avons vu que pour qu’on se trouve dans ce cas, il faut et il suffit qu'après soustraction d’une con-

stante, dans notre cas — IT; de chaque x; la somme des x; le long de

chaque chemin fermé soit nulle. Dans notre cas cela demande évidemment que si nous partons de l’état E; le nombre des réalisations de E;

dans nd épreuves soit avec probabilité = O0 égal à n Il; d—nP; si Ë; > 0. Ce nombre devant être un nombre entier quel que soit 7 > no, il faut que P; — 1, fait qu'on aurait pu démontrer aussi de beaucoup d’autres manières. Or pour que P,=1, il faut qu’il n’existe pas d’autres états dans le sous-groupe de E; que E,. En vertu de l'allure cyclique du mouvement, l’état E; sera obtenu exactement 77 fois en m d épreuves à partir de n'importe quel état (du groupe final), 14 (j) sera une quantité bien déterminée si nous connaissons l’état initial E; et n, il n’est pas besoin de connaitre l’état final. L’écart-type sera identiquement nul et

la loi forte des grands nombres et la stabilité à la Poisson sera encore plus rigoureuse que dans le cas 5; 7< 0, puisque le nombre des réalisations en #7 d épreuves sera exactement n.

Ayant ainsi étudié le mouvement à l’intérieur du groupe final, passons au

Cas général. Si nous partons d’un état d’un groupe final, alors nous restons dans le groupe final et l’étude ci-dessus s'applique. Partons donc d’un état E, à l'extérieur des groupes finals. Un autre état à l’exté-

rieur E; ne sera obtenu qu’un nombre fini de fois dans le mouvement à partir de l’état E; et l'espérance mathématique du nombre de réalisa-

tions de E, à partir de E, sera S;; On pourra évidemment interpréter È S; étendue à tous les états à l’extérieur des groupes finals comme l’es-

pérance mathématique de la durée de séjour du système à l'extérieur des groupes finals. Prenons maintenant un état E; de G,. Le système parti

de E; arrivera avec probabilité P r [i, G, ] dans G,, et s’il arrive en G, la fréquence à partir de ce moment suivra les lois que nous avons déter-

SÛR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 61

minées ci-dessus. L’espérance mathématique du nombre des réalisations de E; divisé par n tend vers

OA E (1; me (j) et l’écart type de =? ‘- tend vers n

PAR ON RE PE lt GENE.

(7) La loi de probabilité de ds prendra à la limite avec probabilité n

1 — Prfi, G,] le valeur 0 et avec probabilité Pr [i, G, ] la valeur Ile

@) ç; Œ m; Le seul cas où l’écart-type de 0) tend vers zéro sera le cas où nl

SOL PA TE QG] —0, alors l'état E; ne sera pas obtenu de tout à partir de E, où Pr [i,G,]=— 1, alors le système passe nécessairement dans G, et y aura un mouvement comme nous l'avons décrit.

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CHAPITRE 2 LE CAS CONTINU; LES PROBABILITÉS $ 1. — Position du problème. Rappel historique

Position du problème. Nous avons considéré dans le premier Chapitre un cas particulier du problème général suivant.

On considère un ensemble abstrait quelconque. En désignant les éléments de cet ensemble comme points abstraits, envisageons un point mobile suivant un mouvement aléatoire dans cet ensemble. Sa position sera répérée dans des instants qu’on appelle épreuves. Supposons qu’à chaque point E et à chaque sous-ensemble & (ou au moins à une certaine famille additive de sous-ensembles contenant l’ensemble nul et l’ensemble abstrait lui-même, famille d’ensembles qu’on appellera avec M. FRÉCHET ensembles probabilisables) on fasse correspondre une probabilité bien définie P (E, &) pour que le point mobile passe dans une épreuve de E en 6. Il s’agit d'étudier le mouvement de ce point mobile.

Nous ne pouvons pas résoudre ce problème dans sa généralité. Dans ce Chapitre nous allons nous occuper d’un cas particulier assez important.

Nous supposons d’abord que l’ensemble W dans lequel se meut le point mobile est un ensemble d’un espace euclidien R, à #7 dimensions, mesurable (Borez) et de mesure positive. La fonction complètement additive d'ensemble P® (E, 8) sera supposée définie pour chaque point E de W et pour chaque ensemble 8 C W mesurable (B). En fonction de E elle sera supposée aussi mesurable (B). Alors la probabilité de passer en x épreuves de E en & sera exprimée par l'intégrale de Lebesgue- Stielties-Radon

pt (E, 8) = {pu (F, 8) pt) (E, d 2.0) de limite de à PE, 9) 30; m étant l'ensemble des points F de W

avec = < PM D(F, 8)< De On a les égalités m

PURE. 6) f PO (F, 8) PE, d ;) 4 W