ET
l'espérance mathématique de la contribution de à & est
t ji<e sin > N. Dans
f4 Il suit que la contribution de à & pour rinégrae | X, (Le (PAU a une espérance mathématique +. Cette contribution étant positive et
b = pouvant être rendu arbitrairement petit, régral | Xs (TkG))dt
t converge si à & —> 0 vers une limite Î X[T, (@)]dt avec proba-
bilité 1. Cette limite sera par définition la durée de séjour dans &, dans (0, f), du point mobile parti de E. Nous nommerons cette durée de séjour aléatoire De (E, 8).
Si O est-le complémentaire par rapport à W d’un domaine fermé, soit &, alors par définition la durée de séjour dans O sera f — D' (E, 8).
On étend facilement cette définition à des ensembles plus généraux. Prenons un ensemble & de ceux pour lesquels nous avons défini
la durée de séjour. En appliquant le lemme du $ 2 on montre sans peine
que les formules sur l’écart-type et l'espérance mathématique de l’inté-
t grale [ XIT,; (#)] dt restent valables encore dans notre cas.
t t t nf frmoe]-fanmione- [ P(E, 8,1) di 0 0 0
t F9 ni XITe (dt |>PrIE, 81.
Supposons que 8 < G,, Es G,, alors Pr [E, 8] — P, (6):
= { fxrmonur] > P, (6).
L’écart-type de x | RIT. O1-P, @ldt
tend vers une limite 5 avec
#2 f [ X (F)X(G)S(F, dæs) P, (d ,).
a” GG G,,
Donc
so? — ] S (F, 8) P, (dk)
formule d’une simplicité remarquable. Sis3<0 il résultera du $ précédent que
D; (E, 8)ÿ-— {1 P,(8) ot
suit une loi tendant vers la loi de Gauss réduite, et la probabilité pour qu'on ait pour au moins un f{ > T
IDQ CE, 8) —+P,(8)|> V2 (811830)
tendra vers zéro avec L sit 3 sera — 1 sit be
CL 2 Dans le Cas/3 = 0" D{ (E, 6) — {P,(6) | reste k dans le cou-
rant des épreuves en dehors de cas de probabilité tendant vers Oavec #°! et la loi forte des grands nombres sera à fortiori satisfaite.
Il en résulte qu’à l’intérieur d’un ensemble final Ja durée relative de séjour dans un ensemble tend uniformément presque-sûrement vers
Supposons maintenant que nous n'avons qu’un seul ensemble final. (Cas régulier). Alors les formules que nous avons données ci-dessus restent vraies quel que soit E. Seulement P (8) est nulle si & est extérieur à l'ensemble final, il en est de même de 5.
SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 121
Dans le cas général: si E:G, et & quelconque, la durée de séjour
se réduit sauf dans des cas de probabilité nulle à la durée de séjour dans & G,, elle est donc nulle si 8 G, — 0 et nous avons regardé plus haut le
cas où 8G,<0.
Si E se trouve à l'extérieur d’un ensemble final, alors le point mobile ne reste dans W—ÈG, qu’un temps fini en dehors de cas de pro-
babilité nulle. La durée de séjour dans un ensemble & extérieur aux ensembles finals est finie avec probabilité 1 et son espérance mathématique est S(E, 8). Si 6 fait partie de G,, alors le point mobile passe avec proba-
bilité Pr[E,G,] dans G, et sa durée relative de séjour dans & y tend presque-sûrement vers P, (8), ou il passe dans G, (84) et alors l’en-
semble & n’est atteint que dans des cas de probabilité nulle.
Remarquons que si l’on admet que les P (E, &, #), satisfaisant aux conditions du $ 1 et du $ 2, sont des fonctions d'ensemble absolument continues, alors on peut définir une durée de séjour dans tout ensemble mes (L). Ces durées de séjour étant définies on peut déduire, si X(F) est bornée et mesurable (L), que x[T, (f)] est Lebesgue-intégrable en dehors de cas de probabilité nulle.
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