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SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 115
Comme on a
AC {x [TL (ON — [ x (G) P (F, d 0, f)
y il suit que t at «| Pro) | Il LGNPIF 40 OA 1 (4 RER Donc
(A) | [ x IT, (D dt | -
t tt 2 dr, [ « [ < Q} CU d'Æ,, ) P(E/270;; 4) 0 ” 0 w HN
$ 3. — Propriétés asymptotiques de l'intégrale
t [ x [T- (dt.
Supposons que nous sommes dans le cas régulier.
Alors P(E, 6,0 --P(8 et [P(E, 8,0) --P(8)]dt =S(E, 8)
donc
sf f AH LE out| al X(F)P(d%;) = M
et
«| [ MF (0) a) Mt —— f xmsEé+ 0 VW
Calculons maintenant
t 2 lim Perl [xmoiar m4 ep 6 0 | |
116 W. DOEBLIN
Soit x’ (F)— x(F) — M, alors en appliquant la formule (A) et en effectuant d’abord l'intégration par rapport à %
2 NT il x! (Ta | — 1 [a f + Elf rosesx,s res, =] CA W
DeS(F,68,t—1:) =.S (F, 8) et de P(E, 6, t) ->P (6) suit sans peine
lim Dal [emo atl
t— = co
ei fa M)(X(G) —M)S(F,d%,) P (d %.)
-2[ froxose d'Æ,) P (d %,) —
Il ne fait pas de difficulté de montrer que
t 2 femor-enl à
est borné et tend vers une limite dépendant en général de E. Envisageons maintenant la loi de probabilité de
t [ x IT, (dt,
pour l’établir le plus commode est de constater que si l’on pose
x = | x IT (id X0 — | x [T; @)] dt
(2) () (a) SE = X8 +... +XE
la loi de probabilité de X® est bien déterminée lorsqu'on connait la
position du point mobile pour { — i — 1 et la connaissance de X( (j <i— 1) nous donne un renseignement moindre sur la position du
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point mobile pour { — i — 1 que la connaissance de sa position pour t — j. Donc quel que soient E et & et quels que soient nos renseignements sur les valeurs des OR [ £ j, la probabilité pour que le point mobile se trouve à l'instant { — i — 1 dans & diffère de P (8) d’une quantité < Ke (TD, Ceci joint à l’homogénité du mouvement et de 57<0, xe borné, étaient les seules propriétés du mouvement dont nous
avons eu besoin dans le Chapitre 1 pour démontrer que
n 3 XOn » | [5 V/ ntend vers la loi de Gauss et que les ii =
It moments de (5 + — N » | [5 V/ n tendent vers les moments de la
loi de Gauss. Si n <t<n+1.
‘2 fl | FT, @rdt—tM= ÿ-x0 LoME c A, 21 ag Von 0 1 Il suit que :
t si -0[ x [T,; (Oldt—tM}5 V/t suit une loi de proba-
bilité tendant vers la loi de Gauss réduite. Les moments de
t | f x [T, (]jdt—-tMfif/sV't L, tendent vers les moments correspondants de la loi de Gauss.
Les évaluations des erreurs restent valables et montrent, comme il n’y a rien à changer non plus dans la démonstration du théorème du logarithme itéré, que la probabilité pour qu’on ait pour un nr = N
2 | M VS bte EE CS DES LAS Vo n (lg n + cigsn)
est égale à 1 si c < 5:
| Dir Ge vers 0 avec N SIrCe D?
Si l’on définit la probabilité pour qu’on n’ait pour aucun {> T
É f x IT, Oldt-tM|> Vot(Igit+clgst) : |
118 W. DOEBLIN
A comme au $& précédent, il suit de ce ae x [T; (]dt—tMnese : 0
+[f] distingue que d’une quantité bornée de [ x [TL (#)]1dt —-[t]Mquon a le théorème:
Théorème du logarithme itéré. Si 5 <0, quel que soitE, la probabilité pour qu'on ait pour au moins un t = T l'inégalité
femoi-maz varier |
’ : 3 tend vers zéro Si c > —
; à RS EL 7 » tstégale à 1 sic < 5
t So 0: Î [X [Te (t)] — M] dt restera bornée en dehors de cas
de probabilité nulle dans le courant des épreuves. Le cas où il y a plusieurs ensembles finals donne lieu à des lois limites pareilles à celles du $ 4 Chapitre 3.
$ 4. — La durée de séjour du point mobile dans un ensemble
Nous avons étudié dans le cas fini et le cas continu le nombre de répétitions à partir d’un point E d’un ensemble 6, c’est à dire la fonction-
nelle du mouvement du point mobile > X É où X # PES DE 0 ©
épreuve à partir de E le point mobile se trouve dans & supposé mesurable B, et 0 ailleurs. Ici le nombre de réalisations sera remplacé par la durée de séjour. Ce serait alors la mesure de l’ensemble aléatoire des points de l'intervalle (0, #), où X[TE (f)] — 1 pourvu que cette mesure existe [X (F)—=1siFes, — 0 si F5@]. Nous allons nous borner d’abord à des ensembles & particuliers, nous supposerons les & des domaines fermés. Alors considérons une couche mince à & enveloppant l’ensemble & et définissons-y X, (F) de manière que X, (F) (—1 dans 6, — 0 dans W-— 6 — à 6) soit continue et que 0 < X, (F) < 1. Alors nous Savons que l'intégrale Riemannienne
t f x,rre ae
LP4 0 existe dans le sens stochastique aussi mince que soit à &.
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6 étant fermé, nous pouvons rendre P(E,à6,t) dt arbitraire-
AD nl
ment petite, donc Se P , ù 6,
La nl nl
» [ira 31]
