INTRODUCTION

Le travail qui suit contient la seconde partie des recherches faites par l’auteur sur les chaînes de Markorr dans la première moitié de l’année 1936. Les résultats de la premiere partie sont résumés dans le $ 2 de l'introduction.

Dans le premier Chapitre sont étudiés les sommes S(° de variables aléatoires attachées au mouvement d’un système matériel ne pouvant prendre qu’un nombre fini d'états dans le cas où ce mouvement est régi par une chaîne simple constante de Markorr. Markorr à en 1907 démontré dans le cas dit de Markorr que ces sommes dépendent si 7 augmente indéfiniment d’une loitendant après réduction vers la loi de Gauss. Dans le cas général M. FrécHer à en 1931 calculé les parties principales des moments des deux premiers ordres de S°”. En nous servant de l’idée du groupement des termes dûe à S. BERNSTEIN nous montrons qu’à l’intérieur d’un groupe final la loi-limite de Lapzace-Gauss est applicable, sauf dans un cas où l’inf.uence du hasard est assez faible. On en déduit les lois-limites des S°? dans le cas singulier le plus général et les parties principales des moments de S!?. Nous étudions ensuite les S® du point de vue de la loi forte des grands nombres et démontrons que dans le cas semi-régulier le théorème du logarithme itéré est généralement vérifié. Ces résultats sont appliqués aux fréquences.

Le second Chapitre est consacré à l’étude du schéma suivant (chaîne simple de Markorr continue): W étant un ensemble mes (B) d’un R,, on fait correspondre à chaque EeW et à chaque sous-ensemble & de W, mes (B), une grandeur P® (E, &) complètement additive par rapport à 6 et satisfaisant à P® (E, W)— 1. Oninterprète PO (E, 8) comme la probabilité pour qu’un certain point mobile passe dans une épreuve

4 W. DOEBLIN

de E en 6. L’allure asymptotique des iterées P( (E, 8) et du mouvement du point mobile a été étudiée par divers auteurs dans ces cas de plus en plus étendus. Nous prolongeons cette étude dans des cas plus généraux encore en supposant vérifiée d’une part certaines conditions de mesurabilité, d'autre part que mes (W) < et qu’il existe un N et deux nombres positifs y, b tels que P\ (E, 8) < 1 -- y si mes (8) b. Le résultat essentiel de l’analyse est qu’on a un parrallélisme presque-parfait avec le cas d’un nombre fini d'états. Il existe un nombre fini d'ensembles finals, tels que le point mobile passe presque-sûrement dans ces ensembles finals, qu’il ne peut quitter l’ensemble final dans lequel il est amené que dans des cas de probabilité nulle et qu’il passe presque-sûrement une infinité de fois par tout sous-ensemble de cet ensemble final de mesure positive. Un ensemble final se divise à son tour en un certain nombre de sous-ensembles cycliques qu’on peut ranger dans un ordre circulaire tel que le point mobile passe presque-sûrement dans cha'ue épreuve d’un sous-ensemble cyclique au suivant etc. Les P(?(E, &8)sont asympto- tiquement périodiques, le calcul de leurs parties principales, ainsi que celui de certaines grandeurs importantes dans la théorie est ramené à la résolution de systèmes d’équitions intégrales. M. FrécHET a démontré sous l’hypothèse de l’existence d’une densité po (E, F) avec p(° (E, F) borné que les constantes fondamentales de module 1 de po (E, F) sont des racines de l’unité; il a précisé et étendu des résultats dûs à M. Hapamarp sur les fonctions fondamentales correspondant à des valeurs fondamentales de module 1. Ces résultats sont retrouvés sous nos hypothèses plus générales et interprétés par la forme de ces fonctions fondamentales et le mouvement circulaire entre les sous-ensembles cycliques. Le cas dénombrable étudié par M. Forrer ainsi que certains cas où mes (W) — < peuvent être ramenés au cas précédent.

Comme on montre dans le Chapitre 3, les résultats établis sur les sommes de variables aléatoires dans le premier Chapitre restent presque tous valables dans ce cas.

La quatrième et dernier Chapitre traite des mouvements régis par l'équation de Smoruchowsky. MM. Kkry1orr et BocoLrouBorr ont étudié sous certaines hypothèses les propriétés asymptotiques de solutions de cette équation en partant de théorèmes de M. Frécner. Les résultats de ces auteurs sont retrouvés et complétés sous des hypothèses plus générales. Ë

Les sommes de variables aléatoires sont remplacées par des intégrales attachées au mouvement aléatoire du point mobile. Sous certaines hypothèses on montre que presque-sûrement ces intégrales ont un sens. Les propriétés asymptotiques de ces intégrales pour {>< sont les mêmes que celles des sommes considérées dans les Chapitres précédents (loi de Gauss, théorème du logarithme itéré, etc). Application en est faite à l'étude de la durée de séjour du point mobile dans un ensemble.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 5:

Nous sommes heureux de pouvoir exprimer ici à notre maitre M. FRÉCHET toute notre respectueuse gratitude pour l’intéret avec lequel il a suivi le développement de ces travaux et pour ses conseils qui ne nous ont jamais fait défaut et qui nous ont été aussi précieux pour nos recherches proprement dites que pour le travail de rédaction.

$ 2. — Rappel de la théorie des chaînes simples à un nombre fini d'états

Envisageons un système matériel ne pouvant prendre qu’un nombre fini d'états E;, E,... E,. Faisons une suite dénombrée d’épreuves 1,..., n,.., et supposons qu’il existe une probabilité p,, bien définie pour que le système passe en une épreuve de létat E; à l'état E,. Les p;, Symbolisent alors une chaîne simple constante. Soit P® la probabilité de passer de E; en E, en n épreuves. On a

PU hs > ue pe ’ 2,PE sa be ro

Nous dirons qu'il existe un chemin de E; en E; d'ordre m, S'ily a m états E;...E; E; tels que le produit p,; ... Pins St 7 0. Si P;; — 0, nous conviendrons de dire qu’on ne peut pas passer en une épreuve de E; en E.

Dans le cas particulier où tous les p;, Sont => 0, on montre que les pe P, > 0. Ce cas, étudié d’abord par Markorr, sera appelé dans la suite cas de Markorr. Si les po sont tous positifs pour un certain y suffisamment grand, les (E tendent vers P, = 0, ce cas est appelé d’a-

près M. FRéÉcHET le cas positivement régulier.

Dans le cas général, on montre qu’il existe un nombre fini (= 1) de groupes d’états disjoints dits groupes finals G, .. G,, jouissant des propriétés suivantes: la probabilité pour que le système se trouve encore à la n'ième épreuve (on suppose qu’il évolue depuis l'instant 0) à l’extérieur de l’ensemble des groupes finals tend vers 0 si 7 augmente indéfiniment (exponentiellement c. à. d. est majorée par ke-"1, où À >> 0). Le système ne peut pas quitter le groupe final dans lequel il est amené, il passe presque-sûrement une infinité de fois par chaque état de ce groupe final. Chaque groupe final G, se décompose en un certain nombre (d (x) > 1) de sousgroupes disjoints d'états 1(3). . d(a), qu'on peut ranger dans un ordre circulaire tel que le système se trouvant dans G, passe nécessairement en chaque épreuve cycliquement d’un sousgroupe