W. DOEBLIN

cyclique au suivant. Si G, contient plusieurs sousgroupes cycliques la sous-matrice des p;; correspondant à G, sera dite cyclique.

On a

PP 0 siEel (a), Ex: 1G)etn<l-l'(mod d(a)) APE ESS CR ME (moddi(e})) OS RE DE

FES par en0IST EC CNERSEACTS

Soit Pr[i, j (x)] la limite pour m—>< de la probabilité pour que le système parti de E, à l'instant 0 se trouve md (x) épreuves après dans le sousgroupe cyclique j (x) de G,. Soit L, (a) le sousgroupe cyclique de G, déterminé par l'équation 7 — [ — 1, (mod d (1)). Alors

PO ze Pr[iL (JP, siE,el(a).!) Envisageons DES [ PhD 2 EP TN SE = 0ps Bees CG LAN UT PAG) RCE 0 PAT OTE r EeG,

en désignant par Pr [i,G,]la probabilité pour que le système passe de E; dans G,.

Prli, G,]=Prli, 1(a)]+.. +Pr{i, d (a) ], Pre =].

Nous pouvons donc écrire PSS RATE

Pr [i,k] étant une fonction périodique de n.

Introduisons avec M. FrécHer les notations suivantes : nous dirons que nous sommes dans le cas régulier si les P!” tendent vers des limites P, indépendantes de l’état initial (un seul groupe final à sousmatrice non-cyclique), dans le cas semi-régulier si les Il, ne dépendent pas du

premier indice (un seul groupe final), dans le cas non-oscillant si les

1) Dans ce qui suit À, = B, Signifiera soit A,/B, —> 1, soit lim [A, =B,1=0: Le lecteur verra immédiatement dans chaque cas dans quel sens le signe zrest employé.

SUR LES PROPR. ASYMPT. DE MOUV. RÉGIS PAR CERT. TYPES DE CHAÎNES SIMPL. 7

pr [é, K] ne sont pas périodiques, donc constantes — Il; (les sousmatrices des groupes finals sont non-cycliques). La différence PP; [i, k] tend exponentiellement vers 0, donc

les séries

Sx = DAPx — Pro}

convergent. Les grandeurs Pr{i, j (2)|, P,, S;, peuvent être calculées par

des systèmes d'équations linéaires qui les déterminent sans ambiguité. On a les relations

D Sx—0 D PrIEK]S,,—0 (voir & suivant).

k=1 La grandeur 7 (no — 11,,) peut être mise sous la forme Sx + de sx de étant un infiniment petit d'ordre exponentiel, go étant une fonction Re de n, la période ne dépendant que de X et étant identique à

celle de Pr [k, k].

Si Py est la probabilité absolue d’avoir à l'instant O l’état E, la

s probabilité absolue d’avoir l’état E; à l'épreuve n est > Ds, He [Pol

est dite une distribution stable si + Po Pi ne dépend pas de n, les p,, À

sont alors de la forme

Pa = PrlO, G siP,sG, et px —0siE,<) G, Pr[0, G,]

pe dQ) étant la probabilité initiale de se trouver dans G,. Sinous connaissons l’état du système, soit E; à une certaine épreuve

et son état E, m épreuves après, avec pi > 0, alors nous pouvons calculer la probabilité pour que le système se soit trouvé à une épreuve intermédiaire en E, et cette probabilité est bien définie et ne dépend p1s des connaissances que nous pouvons avoir sur les états que le système a pris à l’extérieur de l’intervalle de temps considéré.

À l’intérieur d’un groupe final le principe presque-ergodique est réalisé : si nous connaissons l’état du système à un certain instant dans le groupe final, alors la connaissance d’un état du système à un instant ultérieur ne nous donne aucun renseignement (au moins asymptotiquement) sur le mouvement du système à des épreuves très éloignées. Nous pouvons préciser ce principe dans notre cas en disant : à l’intérieur d’un

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