INTRODUCTION

Le problème de rintégration des équations aux différences partielles a été abordé des le siècle dernier par les géomètres ; mais ce n'est qu'au commencement de ce siècle que Cauchy et Jacobi sont parvenus à ramener complètement l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à celle des équations différentielles ordinaires.

toutefois la question n'était point épuisée» car ce dernier problème, l'intégration des équations aux différentielles ordinaires, était loin d'être résolu. L'existence même de l'intégrale n'était pas démonirce d'une manière rigoureuse.

Cauchy aborde ce nouveau problème, et, dans le Tome XIV des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences ( p . 1 020- 1 o23 ) , i I imagine pour le résoudre un nouveau mode de calcul qu'il appelle ca/ct// des limites f et il démontre que les équations différentielles ordinaires admettent une intégrale; il définit complètement cette intégrale, ou plutôt un élément de cette intégrale, en montrant qu'elle peut se représenter en général par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable et convergentes dans de certaines limites.

Cesl donc une intégration complète, mais qui ne nous fait pas connaître la valeur que prend la fonction cherchée quand on donne à cette variable une valeur quelconque, mais seulement quand le module de celte variable reste plus petit qu'une quantité donnée.

Dans le Tome XV des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, il applique les procédés du calcul des limites d'abord aux équations linéaires aux différences partielles du premier ordre (p. 44-58), puis à un système quelconque d'équations aux différences partielles d'ordre quelconque (p. 85- 1 oi ). Il recherche quelle est l'intégrale de ces équations qui est assujettie à se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables indépendantes, et il démontre que cette intégrale peut encore, en général, se représenter par une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.

Enfin, dans le Tome XVI (p. 57^), il recher<îhe comment on devrait aborder le problème quand l'intégrale particulière que l'on éludie est assujettie à d'autres conditions qu'à celle de se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables.

Dans le cas le plus général, le problème qui nous occupe a donc été complètement résolu par Cauchy.

Il a été depuis repris par deux géomètres. Dans une Thèse inaugurale, insérée dans le Tome 80 du Journalde Crelle (p. i et suivantes). M"* de Kowalewski a démontré de nouveau des théorèmes déjà trouvés par Cauchy; enfin M. Darboux en a inséré une démonstration nouvelle dans le Tome LXXX des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (p. loi). Toutefois, il existe encore des cas où le théorème de Cauchy ne peut pas s'appliquer et où l'intégrale soit d'une équation différentielle ordinaire, soit d'une équation aux différences partielles, ne peut se représenter par une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.

Pour les équations dilTérentielles ordinaires, ces cas exceptionnels ont été étudiés par AIM. Briot et Bouquet, dans un Mémoire intitulé Mémoire sur les fondions définies par les équations différentielles et inséré dans le Tome XXXVI du Journalde l'École Polytechnique.

Mon but, dans ce travail, est d'étudier de même, pour les équations aux différences partielles du premier ordre, les cas exceptionnels où le théorème de Cauchy ne s'applique plus.

Ces cas sont de deux sortes : ou bien la difficulté provient, non de la forme même de Téquation proposée, mais de la manière dont est définie rintégrale particulière que Ton étudie; ou bien elle est due à la forme de l'équation proposée. De là la division naturelle de ce travail en deux Parties. La première est destinée à l'étude des exceptions de la première sorte et nous amènera à reconnaître que l'on peut obtenir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro certaines fonctions des variables de l'intégrale et de ses dérivées du premier ordre, et que ces fonctions peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ces quantités.

Dans la deuxième Partie, on étudie la seconde sorte de singularités; mais je n^ai pu arriver à des résultats que quand certains coefficients satisfont à certaines conditions de signe, et j'ai été obligé de laisser de côté les cas où ces conditions ne sont pas remplies.

Avant d'aborder le problème qui est l'objet principal de ce Mémoire, j'ai dû étudier, dans des lemmes préliminaires, quelques propriétés générales des fonctions, et, en particulier, rechercher ce qui se passe quand on ne peut plus appliquer les théorèmes de MM. Briot et Bouquet, relatifs aux fonctions définies par des équalions dont le second membre est zéro, et le premier membre une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables et des fonctions cherchées.