LEMMES PRÉLIMINAIRES

On sait qu'une fonction z de n variables a?,, ojat . . . , a?;, (ou plutôt un élément de cette fonction) est dite holomorphe en x^—ol^^ x^ — «j, . .., Xn — dn quand on peut la représenter dans une certaine étendue par une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes dea;< — a,, arj — a^, . . . , a;„--a„ (a,, aj, . . . , oin étant des constantes données).

Pour que cela ait lieu, il faut et il suffit que la fonction z reste finie, continue et monodrome quand les modules de x^—a^^x^ — «2» . . . , a7„ — a;, restent plus petits que certaines quantités données.

Théorème de MM. Briot et Bouquet.

MM. Briot et Bouquet ont démontré que, si p fonctions z,, z^^ . . . » ^y, de n variables x^, ocj, ... , a7„ sont définies par p équations dont le second membre est zéro et les premiers membres sont p fonctions holo-

morphes en z, — j3,, Zj — jSa» ••» ^p — ^p^ ^i ""«m ^c,-— «2» •••> ^n — «« [les a. et les jS étant des constantes), si ces p équations sont satisfaites quand on fait

w pour le même système de valeurs le déterminant fonctionnel des premiers membres des p équations par rapport aux p fonctions z n'est pas nul^ les p fonctions z ainsi définies sont holomorphes en x^ — a,,

X2 "~~ Ûfj» • • • ♦ Xfi ^M*

Je ferai dans la suite un fréquent usage de ce théorème, et je m'en servirai en particulier pour démontrer les lemmes qui vont suivre.

Définition. — Nous dirons qu'une fonction z de n variables a;,, ^2» •••» ^/i est algébroïde de degré men a?, — a,, a72 — «2, ...,rr„ — a„ quand elle satisfera à une équation de la forme

( 2 - (3)- 4- A«,-, ( z - p l— -h . . 4- A, ( 3 - (3) -+- Ao = o,

où Â,„.,, . .., Â|, Ao sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a?, — u^^x^-— ol^^ .... o?;, — a^,, qui restent convergentes quand les modules de a?, — a^, 072 — «ai • • • » ^n — <^n restent plus petits que certaines quantités données et qui s'annulent quand

Xx ^r: ûCi, X-i = CLtf • ' • y ^ji "^-^ ^if

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que

ai = «î = . . . .= a» = (3 = o.

Nous pouvons toujours le faire, car, si cela n'était pas, on ferait

a:, n::^, -f-a,, ar,=i^j-+-a„ . ., ^« = /, -i-a„ z = z, -+- (3,

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas où les a et /3 sont nuls.

Lemme I. — Si une fonction z est algéhroîde de degré m en x^^ x^^ ...» a7„, et que l'on y remplace a?, , a?2» . . . i Jf„ par des fonctions holomorphes en t s' annulant quand / = o, la fonction z est développable en une série convergente dans une certaine étendue et ordonnée suivant les

puissances croissantes de t^, p étant un nombre entier tel que

pSnu En effet» reprenons Téquation

«•" + Afli-i^""* +. . .-h Aij5 -I- a, = o.

Remplaçons dans celte équation par certaines fonctions

Iiolomorphes en t ets*annulant avec cette variable. Les A deviendront des fonctions holomorphes en / et s'annuleront pour / = o, puisqu'ils s'annulent pour

yC l ^— J/j • • . <îl7j| —' 0«

La fonction z devient ainsi une fonction de / susceptible de m valeurs. Quand on fera varier t de telle manière que le point qui représente sa valeur imaginaire sur un plan décrive un contour autour du point / = o, il y aura /i de ces m valeurs qui se permuteront circu-

lairement comme les p valeurs de t^. Il est évident que, si Ton donne à z une de ces/? valeurs comme valeur initiale et qu'on fasse décrire

à / un chemin tel que t^ revienne à sa valeur primitive, z reviendra aussi à sa valeur initiale. De plus, z conserve une valeur finie quand le module de t reste inférieur à une limite donnée, et, étant une fonction

continue de /, est aussi une fonction continue de t^.

Donc z est holomorphe en r^, et il est d'ailleurs évident que

Dans les deux lemmes qui vont suivre, on considérera une fonetion z de n variables x^^x^t »*.*x„ définie par une équation

dont le premier membre (p{z) est une série

A. -4- Al a -h A,z*-h. . .

ordonnée suivant les puissances croissantes de z et dont les coefficients Ao» Â,, ... sont des fonctions holomorphes en r&i, â?^» ...» x„. On supposera que, quand on fait dans les A

iCt — JTi — — • • • — — ^ji — O^

on ait

A,= A,r=: Aj = . . . = A«i= o (Aa^o).

Lemhe II. — // existe m /onctions z qui satisfont à la définition précédente et qui tendent vers zéro quand x^y x^^ . ,,^ x^ tendent vers zéro.

En effet, soit ?o(^) ce que devient (f[z) quand on y fait

X\ — — X^ — • • • — Xft —— o.

Si Ton représente les parties réelle et imaginaire de z par les coordonnées d'un point dans un plan, on pourra toujours tracer dans ce plan un cercle C ayant pour centre le point js = o et dont le rayon R soit assez petit pour que fo(^) ne s'annule pas à l'intérieur de ce cercle, si ce n'est pour z = o. Ceci posé, il est évident que, si Ton prend Tin* I effraie

le long d'un cercle quelconque C| , concentrique à G et de rayon R, < R, celte intégrale sera égale a ninm.

Soit maintenant <f\{z) ce que devient (f{z) quand on donne à x^^ x^, . . ., Xn certaines valeurs déterminées différentes de zéro. On peut toujours prendre les modules de ces valeurs déterminées assez petits pour que :

I® ç), (z) difï^re aussi peu qu'on veut de fo(«);

a® (f\ [z) diffère aussi peu qu'on veut de f'^ [z)\

30 IjSII difTere aussi peu qu'on veut de —;-;•,

4** Enfin pour que / --—dz prise le long du cercle C, diffère aussi

peu qu*on veut de; / ^* .^^ dz prise le long du même cercle, c'està-dire, puisque cette intégrale est toujours égale à 217: multiplié par un nombre entier, pour qu'elle soit égale à linm.

Donc on peut toujours prendre les modules de a:,, â?,, . . ., rr„ assez petits pour que (f^{z) s'annule m fois dans l'intérieur du cercle C,, quelque petit que soit le rayon de ce cercle.

Donc il existe m fonctions Z|, z^^ ..-, ^m de x^^ x^^ ...,x„ qui annulent la fonction 9(2) et qui tendent vers zéro quand ^,, x^, ...,â?/i tendent vers zéro. c. q. f. d.

Lemme III. — Les m fonctions z^^z^, . - . » «m ^^^^ algébroïdes de degré Tn en x ^ , x^ ^ • • • , Xm .

En effet, les m fonctions z,, «a, • . .» ^m sont définies par les m équations

(l) (p(a,)=0, 9(Z,)=:0, ..., <p(z„)=rO.

Je vais d'abord remplacer le système (i) par un autre système équivalent. A cet effet, je poserai

Je poserai en outre

^ fx[Zi)

1=1 i=tn