INTRODUCTION

Le problème de l'intégralion des éciuations aux did'ércnces partielles a été abordé dès le siècle dernier par les géomètres; mais ce n'est (iii'aii commencement de ce siècle qne Caucliy el Jacoi)i sont parvenus à ramener complètement l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à celle des équations ilillerenlielles ordinaires.

Toutefois la question n'était point épuisée, car ce dernier problème, l'intégration des équations aux diflérenlielles ordinaires, elail loin d'être résolu. L'existence même de l'intégrale n'était pas dénionlrée d'une manière rigoureuse.

Cauchv aborde ce nouveau problème, et, dans le Tome XIV des Comptes rendus des séances de i Académie des Sciences f\^. 1020-102^). il imagine pour le résoudre un nouveau mode de calcul <|u'il appelle ra/fw/ des limites, el il démontre que les é(iuations diiïérenlielles ordinaires admettent une intégrale; il définit complètement cette iiilcgralc, ou plutôt un élément de cette intégrale, en montrant qu'elle peut se représenter en général par une série ordonnée suivant les puissances croissantes de la variable et convergentes dans de certaines limites.

C'est donc une intégration complète, mnis qui ne nous fait pas connailre la valeur que prend la fonclion cliereliée quand on donne à celte variable une valeur quelconque, mais seulement quand le module de celte variable reste plus petit qu'une quantité donnée.

Dans le Tome XV des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, il applique les procédés du calcul des limites d'abord aux équations linéaires aux différences partielles du premier ordre (p. 44-58), puis à un système quelconque d'équations aux différences partielles d'ordre quelconque (p. 85-ioi).ll recberche quelle est l'intégrale de ces équations qui est assujettie à se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables indépendantes, et il démontre que cette intégrale peut encore, en général, se représenter par une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables.

Enfin, dans le Tome XVI (p. 072), il recliercbe comment on devrait aborder le problème quand l'intégrale particulière que l'on étudie est assujettie ii d'autres conditions qu'à celle de se réduire, quand l'une des variables s'annule, à certaines fonctions données des autres variables.

\),\n> le cas le plus général, le problème qui nous occupe a donc été complètement résolu parCaucby.

Il a été depuis repris par deux géomètres. Dans une Tbèse inaugurale, insérée dans le Tome 80 du Journalde Crelle (p. i et suivantes), M"" de Kowalewski a démontré de nouveau .des ibéorëmes déjà trouvés par Caucby; enfin M. Darboux en a inséré une démonstration nouvelle dans le Tome LXXX des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences ^p. 101). Toutefois, il existe encore des cas où le théorème de Cauchy ne peut pas s'appliquer et où l'intégrale soit d'une équation dillërenlielle ordinaire, soit d'une équation aux différences partielles, ne peut se représenter par une série convergente ordonnée suivant les puissiinces croissantes des variables.

Pour les équations différentielles ordinaires, ces cas exccj)lionnels ont été étudiés par MM. lîriot et Bouquet, dans un Mémoire intitulé Mémoiresur les fonctions définies par les équations différentielles et inséré dans le Tome XXXVl du Journalde l'École Polvtec/mique.

Mon but, dans ce travail, est d'étudier de même, pour les équations aux différences partielles du premier ordre, les cas exceptionnels où le théorème de Cauchy ne s'appli(|ue plus.

Ces cas sont de deux sortes : ou bien la dilficullé provient, non de la forme même de l'équalion proposée, mais de la manière dont est définie l'intégrale parliculière que l'on étudie; ou bien elle est due à la forme de l'équation proposée. De là la division naturelle de ce travail en deux Parties. La première est destinée à l'élude des exceptions de la première sorte et nous amènera 'a reconnaître que l'on peut obtenir l'expression implicite de l'intégrale en égalant à zéro certaines fonctions des variables de l'intégrale et de ses dérivées du premier ordre, et que ces fondions peuvent se représenter par des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de ces quantités.

Dans la deuxième Partie, on étudie la seconde sorte de singularités; mais je n'ai pu arriver à des résultats que quand certains coedicienls satisfont à certaines conditions de signe, et j'ai été obligé de laisser de côté les cas où ces conditions ne sont pas remplies.

Avant d'aborder le problème qui est l'objet principal de ce Mémoire, j'ai dii étudier, dans des lemmes préliminaires, quelques propriétés générales des fonctions, et, en particulier, recbercber ce qui se passe quand on ne peut plus appliquer les théorèmes de MM. Briot etBou(juet. relatifs aux fonctions définies par des équations dont le second membre est zéro, et le premier membre une série ordonnée suivant les puissances croissantes des variables et des fonctions cherchées.

IJ•:.^iMI■^ PUKLIMI.NAIHKS.

On sait (ju'une fonction z de n v^iriables x,, x., x„ 'ou plutôt

un élément de cette fonction) est dite Iiolomorphe en ^, — a,, jtj — a^. . .., x„ — c/.„ quand on peut la représenter dans une certaine étendue par une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes dear, — a,, a^j — «2, . • • , x„ — a„ ' (/.f, </..,, . . . , y.„ étant des constantes donnéesj.

Pour que cela ail lieu, il faut et il sullit que la fonction z reste finie, continue et monodrome quand les modules de a;, — a,, oTj — c/.,^ .. , x„ — y.„ restent plus petits que certaines quantités données.

Théorème de MM. Bi'iot et Bouquet.

MM. Briot et Bouquel ont démontré que, si p fonctions ;,, Co, . . . , -^, de n variables x^, x», ..., x„ sont définies par p équations dont le second membre est zéro et les premiers membres sont p fonctions holomorphes en z^ — p,, ^2 — ^2^ ••. ^p — |3/„ a:, — a,, a-j — «2- •••' ^« — ^« les y. et les ^ étant des constantes), si ces p équations sont satisfaites quand on fait

i, =[3|, 2: = |3î, ..., Zp=:P)f,, X, = a,, Xi =^ «3, ..., X,, = «„,

si pour le même système de valeurs le déterminant fonctionnel des premiers membres des p équations par rapport aux p fonctions z n'est pas nul, les p fonctions z ainsi définies sont holomorplies en x^ — a,,

Jo ferai dans la suite un fréquenl usage de ce théorème, et je m'en servirai en particulier pour démontrer les lenimes qui vont suivre.

Définition. — Nous dirons qu'une fonction z de n variables x,,

x„ x„ est algébroïde de degré tyi en Xf — îf, , x.^ — 'y.^, . • ■ . x,, — c/.,,

(juand elle satisfera à une équation de la forme

où A,„,, . .., A,, Ao sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a:^, — a,, x^ — y.j, . . . , x,, — ry.,^, (|ni restent convergentes quand les modules de x^ — a,, a:, — «a, . . . , x^ — v-,, restent plus petits que certaines quantités données et qui s'annulent quand

Xi = a,, Xj = a,, ..., Xn^^Xi,.

Dans tout ce qui va suivre, nous supposerons que

Nous pouvons toujours le faire, car, si cela n'était pas, on ferait

X, =/-,-)- j;,, x,=zy.,-ir y.j, . ., jr„ =:;•„ -h x,,, 3 = ^,-4-3,

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas où les v. cl [j sont nuls.

Le M. ME I. — 5V une fonction z est algchroïdc de degré m en x,, x.,,

. . . , x„, et que l'on y remplace Xf , x^, . . ■ , .r„ par des fonctions liolo-

morphes en t s' annulant quand l = o, la fonction z est dèveloppable en

une série convergente dans une certaine étendue et ordonnée suivant les

puissances croissantes de f, p étant un nombre entier tel que

En effet, reprenons ré(jiialion

z'" — A„, z"-^ -T- • . . -t- A, z -i- Al, r^ t>.

Remplaçons dans celte écjuation

par certaines fonctions

Iiolomorplics en / et s'anniilant avec cette variable. Le- A ileviendrunt

des fonctions holomorplies en t et s'annuleront poui' t o, puisipiils

s'annulent pour

ar, = Xj =^ . . . ^ ar„ = o.

La fonction z devient ainsi une fonction de t susceptible de m valeurs. Quand on fera varier t de telle manière que le point qui représente sa valeur ima;;inaire sur un plan déclive un tonldur autour du point / = <), il y aura /) de ces m valeurs qui se peiiimteront circu-

lairenient comme les /; valeurs de t'\ Il est évident (lue.si l'on donne à - une de ces/? valeurs comme valeur initiale et (ju'on fasse décrire

à / un chemin tel que li" revienne h sa valeur primitive, :; reviendra aussi à sa valeur initiale. De plus, z conserve une valeur finie quand le module de t reste inférieur à une limite donnée, et, étant une fonction

continue de t, est aussi une fonction continue de f.

Donc z est liolomorplie en t' \ et il est d'ailleurs évident que

<ni. c. y. F. D.

( 6 ) Dans les deux lemnies qui vont suivre, on considérera une fonction z <le n variables a-,, cc^, • . . , x„ définie par une équation

Of s ) =: O,

dont le premier membre ç(s) est une série

Ao +A,2 + A,3=-h. . .

ordonnée suivant les puissances croissantes de :; el dont les coefficients Ao, A|. ... sont des fondions liolomor[)hes en x,, x^ x„.

On supposera que, quand on fait dans les A

on ait

Lemsie h. — // existe m fondions z qui satisfont à la définition précédente et qui tendent vers zéro quand x^, x^ x„ tendent vers zéro.

En effet, soit Oa{^) ce que devient ç)(c) quand on y fait

Xi ^ .Tj = . . . = r„ = O.

si l'on représente les parties réelle et imaginaire de z par les coordonnées d'un point dans un plan, on pourra toujours tracer dans ce jilan un cercle C ayant pour centre le point = = o et dont le rayon R soit assez petit pour que ©0(2) ne s'annule pas à l'intérieur de ce cercle, si ce n'est pour 2 = 0. Ceci posé, il est évident que, si l'on prend l'intégrale

le long d'un cercle quelconque C,, concentrique à Cet de rayon R, < R, celte intégrale sera égale à ^inm.

Soit maintenant 91(2) ce que devient o[z) quand on donne à x,, X2, •••, x,i cerlaines valeurs déterminées différentes de zéro. On peut toujours prendie les modules de ces valeurs déterminées assez petits pour que :

1" ç, [z] diffère aussi peu qu'on veut de ^0(2);

2" 9', (z) diffère aussi peu qu'on veut de 90(2);

30 îiiii diffère aussi peu qu'on veut de ^'^!;

(7) f\° Enfin pour que | "^^dz prise le long du cercle C, diiïère aussi

peu qu'on veut de 1 "^ ° ~ dz prise le long du même cercle, c'està-dire, puisque celte intégrale est toujours égale à 2/- multiplié p;ir un nombre enliei-, pour qu'elle soit égale à lir.m.

Donc on peut toujours prendre les modules de a-,, j-, x„ assez

petits pour que ■p,f^) s'annule m fois dans l'intérieur du cercle C,, quelque peut que soil le rayon de ce cercle.

Donc il existe m fonctions ::,, z^, ..-, z,„ de .r,, .r..,, ...,.r„ qui

annulent la fonction ç (:;j et (|ui tendent vers zéro quand x,,Xn cc„

tendent vers zéro. c. o. f. d.

Lemme m. — Les m fonctions z,, :.,, ...,-,„ sont algehroïdes de degré m en X,, x, r„.

En effet, les m fonctions z,, z^ :;„, sont définies par les m équations

(1) 9Jz,) = o, o[z,]^^o, ..., o[z„)z^o.

Je vais d'abord remplacer le système (i) par un autre système éijiii • valent. A cet effet, je poserai

Je poserai en outre

9[Zi\nizA

Il est clair que le système [t.] B, = o, B, = o, B,„=o

est équivalent au système (i).

Les B sont symétriques par rapport à -,, z.., — "■,«• ^^ plus, ce sont (les fonctions entières par rapport à ces variables. En effet, les (lénoininaleurs /,{^i) ne contiennent que des facteurs de ia forme 3,— c^ et ne contiennent ces facteurs qu'à la première puissance. Donc les B seront égaux aux quotients de fonctions liolomorphes en z,,

ïo, . . ., ::,„, X-,, a-.,, ar„ par le produit de tous les facteurs tels que

z^ — z^. J'aurai donc démonlté que les B sont eux-rnémes des fonctions

liolomorphes en z,, z.^ :,„, .r,, .i\,, . . ., .r„ si je fais voir qu'en les

multipliant par -, — z,, et faisant c, = z/^ on les annule. Or cela est évidenl, car, lesB étant symétri(]ues par rapport à z^ et à z/,, B(s, — z,,) change de signe quand on change s,- en z^ et z/, en :;,. Donc il s'annule quand s, -- z/,. Donc les B sont liolomorphes en .r,. .i\, .... .ï„, en z,, ;., :;,„ et symétriques par rapport à ces m dernières variables.

Posons

Ces ni nouvelles variables s'annuleront en même temps que les z.

De plus, on sait que tout polynôme entier symétri(|uc par rapport aux z et de degré /> est un polynôme entier en

S,, S2, .... S,,, si /^<wi,

cl en

Si, Sj, . . . , S,„, si j>^ m.

Donc les B seront des fondions ludoniorplics en S,, S^, .... S,„, x,, X.,, ..., .r„.

Les S sont donc définis en fonction des .r par m équations dont le second membre est zéro et les premiers membres sont des fondions bulomorphes en S,. S,, .... S,„, x,, x., .. . .r„ qui s'annulent quand

Donc, en vertu du tliéorènie de MM. Briol et Bouquel, les S tueront bolomorplies en x,, .i%, . . . , a-„si le déterminant fonctionnel des H par rapport aux S ne s'annule pas quand

S, = S, = . = S„, = a-, = Xj = . . . = jr„ = o.

Il iaut donc calculer le déterminant funclionnel des 15 par lapporl aux S pour ce système de valeurs, et pour cela calculer, toujours pour les mêmes valeurs des variables, les dérivées partielles

1° Si k < m — p -^ \ ,

En effet, si dans sic; on fait

o{z) devient

De même on a, quand les.i- s'annulent.

Le premier terme est bomogène et de degré m - p -'r i par rapport aux ;:, le second liomogène et de degré m — p -h 2, etc.

Donc, si l'on exprime maintenant les B en fonction des S. le premier terme de Bp dans le développement (3) donnera un terme en S,„^^, et des termes formés par le produit de deux ou plusieurs des S* tels que k<^ m — p + \, mais il ne donnera pas de terme en S/,(/f < m— p + \} et indépendant des autres S. Les termes suivants du développcmeiil 3 ! n'en donneront pas davantage pour les mêmes raisons.

( lO )

DoncB,,, développé en roncliondesS,ne contiendra pas de terme en S/,. Donc

—rr = o.

Donc le déterminant fonctionnel des 13 par rapport aux S se réduit, au signe près, au produit des

1! suftit donc, pour faire voir que le déterminant n'est pas nul, de montrer qu'aucune de ces dérivées partielles ne s'annule.

Pour calculer -r- — —-■, reportons-nous au développement ' 3) et cher-

chons d'où peut provenir, dans le dévelojipement de BpCn fonction des S. un terme enS,„^+,. Il ne |)eut venir que du premier terme du développement (3j, que nous appellerons pour abréger T,,, car les termes suivants de (3) sont iiomogènes par rapport aux z et de degré supérieur à m ~ p -h I .

Il suffit donc de s'occuper des termes provenant de T,,; on a

5 étant une fonction de S,, S,, . . . , S,„^pqui s'annule avec ces variables, et c'est v.p qu'il s'agit de calculer. Comme Up est une constante indépendante des s, il suffira de calculer sa valeur en donnant aux z des valeurs qu<'l('onqucs, par exemple les racines de l'équation

Tous les S/, sont nuls, et S„

.^,^, = m -~p -r I . Donc

Or, on a

:iT.l, = r

cette intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon suffisamment grand. En effet, le résidu de la fonction sous le signe/ par rapporta la racine c = s, est

La somme des résidus de celle t'oiielion esl donc la somme de ces (luanlilés, c'est-à-dire ^-- Or, dans le cas particulier où nous nt)us sommes placés,

/^(v' — C;;, i'" ''. oh C','„ ~ m m ~ i . ni -- p -*- \\ Donc

La première inlégrale est nulle; en ce ([ui concerne la seciuide, la l'onclion sous le signe /est dévelop|)al)le puisque le rayon du cercle le long duquel on prend l'intégrale esl 1res grand) en série ordonnée

suivant les puissances croissantes de - et don! le premier lerme est -• Ce premier lerme donncia une inlégrale lir., les autres une inlégiale nulle. Donc

Cf„?.„, m — p -T-

Donc les Up ne sont pas nuls; donc le déterminant fonctionnel des H par rapport aux S ne l'est pas non plus; donc les S sont des Ibnclions liolomorplies en x,, x.,, . . ., a„.

Les m valeurs de =, à savoir ;,, Zo, ..., z,„, satisfont à une éiiualion

où les A' sont des polynômes entiers et symétriques par rapport à :;,, s,, .... z,„; ces polynômes sont donc aussi des polynômes entiers

par rapport a S,, S., S,„. cl par conséquent des fondions liolo-

morphes en c,, x^, ■• . x„.

C'est dire que les m valeurs de z sont algébroïdes de degré m en .r,, Xn, . ., x„. *■■ 0- '"• '*•

La démonstration précéJente suppose que Téquation

n'a pas (le racines multiples; mais il est facile de l'étendre à ce cas d'exception.

Soient encore, en efiel,

où ;,, jj, ..., z,„ représentent pour un instant des quantités quelconque?, et soit encore

f{v) et Z^/'c) sont des polynômes entiers par rapport à v et aux S. Soit mainlenant

cette intégrale étant prise le long d'un cercle de rayon assez petit pour que-fci soit convergent ponr certaines valeurs des a; et assez grand pour contenir lesw racines de réf|ualion

pour ces mêmes valeurs des x.

Supposons, de plus, qu'on ne donne à z^, z.,, . . ., z,„ que des valeurs dont les poinis représentatifs soient compris a l'intérieur de ce cercle.

Cela est toujours possible.

Celle intégrale est une fonction continue des S et des .r, el l'on a vu que dans le cas où tous les z sont dilïérents, c'est-ii-dire oii les S ne prcnnenl pas certains systèmes particuliers de valeurs, cette intégrale se réduit à une fonction liolomorplie des S et des x. Il en est donc encore de même dans le cas où les :: cessent d'être tous différents.

Pour exprimer que les r se réduisent aux m racines de ré(|iialiou

en tenant coin|)le de leur degré de multiplicité, il faut encore écrire

que les B^ sont nuls, c'esl-à-dire qu'il faul égaler à zéro les mêmes Ibnelioiis liolomorplics des S et des x que dans le cas où il n'y a que des racines simples, c'est-à-dire que la démonstration précédcnle s'appliciue.

(lonoLL.viP.E I. — 5/ '^ est une fonction algc'hroïde en z. x,, x.,, . . ., x„ telle, qu'une de ses valeurs s'annule quand on a à la fuis

mais qu'aucune de ses valeurs ne s'annule, quelque soit :, quand on a

à la /ois

a:, = ar, = ...=: T„ = (),

si z est défini en Jonction des x par l'équation

z est une Jonction algébroïde en x,, x.,, . . ., x„.

En effet, la fonction o, étant algébroïde en ;, r,, r,. . ., r„, est donnée par une équation

OÙ les A sont lioloniorplies en :;, x,, x.,. . . ., x,,. L'eiiualion 0 — 0 est donc é(|uivalenle à ré(]ualion

Mais Ao est une fonction lioloinorphe en z, x , x„ qui s'annule

quand toutes ces variables s'annulent, puis(|ue o s'annule dans ce cas. mais (|ui ne s'annule pas, quel que soit z, (juand tous les x s'annulent, puis(iue p ne s'annule pas dans ce cas.

Donc A|) contient un on plusieurs termes contenant uni; puissance de z et indépendants des x.

Si -'" est celui de ces termes dont le degré est le moins élevé, on retombe sur le cas étudié dans le lemme précé.Ient, et z est une foni:lion algébroïde de degré m en ,r,, ,î% r„. c. o. f. d.

Omor.r. viiu: II. —Si, dans une fonction Itolomorplic V en .i',, .r^, . .., .*•„, on substitue à la place de ca variables n fonctions 0,, o^, . .., o„ de pra-

7uihles noinellcs Y,,J'2, . ■ ., fp, algébroides par rapport ày,,y., . . ., Vp et s' annulant a^ec ces imiiahles, la fonction V decient une fonction algébroïde en r, , Vo y p.

En ciïel, les funciions y,, On y„ sont respectivement susceptibles

lie /»,, //?,. ••' fn,, valeurs diiïérenles. En substituant dans F un svstènie quelcDnijiie de ces valeurs, on donne à celte fonction

nu nh . . ■ m„:=- M valeurs dillerenles. Soient ¥,,¥n F„ ces valeurs. Les fonctions

sont lioloniorplies par rapport aux diflérentes valeurs de ç,, o.,, .... o„. De plus, elles sont symétriques par rapport aux diflérentes valeurs de Çi, aux différentes valeurs de o.^, etc.

Donc, en appelant 8,^ la somme des ^y'»"^ puissances des diverses valeurs de 9,, S,^ la somme des/j"™" puissances des diverses valeurs

de fo. les fondions \ F* sont bolomorplies [)ar ra|)porl aux S, c'est-àdire (puisque les S sont bolomorplies par ra()port aux y) bolomorpbes par ra|)port aux 1'. C'est dire que la fonction F elle-même est algébroide en j, , Vj, ...,jp. c. g. f. u.

Lljime IV. — Si p,, (p2, ■ ■ -, Op sont p fonctions holomorphes en

:,, z^, .... Zp, or,, .T., œ„, si ces fonctions s'annulent c/uand on

annule tous les z et tous les a:, si les équations

restent distinctes quand on atinute tous les .r, si l'on définit les z en Jonction des X par les équations

les p fonctions ainsi définies sont algébroides.

( '5 ) En efTet, supposons /j = 2 pour fixer les idées; z, et z., sont alors définis par les équations

9, ^^ o, tp-, = o;

5, et 3, ne peuvent s'annuler identiquement tous deux quand on l'nil

car alors les équations

cesseraient d'être distinctes quand on annulerait tous les x et se réduiraient toutes deux à

Supposons que ce soit ç, qui ne s'annule pas identiquement quand

OU pourra ^Lemine III et Corollaire I^ tirer di;

= , en fonction algébroïde de s,, x,, x., x„.

Substituons cette valeur de z, dans Çj; celte fonction deviendra algébroïde en Sj, x,, x.,. . . . , x„ 'voir Lemme III, Corollaire JT. L'équation

a donc un premier membre algébroïde en z.,, x,, x., -r,, et qui s'annule avec ces variables. De plus, s, ne s'annule pas, (juel que soit z.,, quand x,, x^. ■ ■ , r„ s'annulent. Ce serait dire que les équations

cessent d'être distinctes quand les x sont nuls. Donc r, est défini par l'équation 92=0 en fonction algébroïde de x,, x^, . . . ,x„. Il en est de même de z,, puisque rien ne le distingue de Zo. Le lemme est donc démontré.

Remarque. — On remarquera que dans le Icmmc précédent on est

( 'G ) obligé de faire une restriclion, puisque l'on suppose que le? équations

O, = Oi = . . . = '^,^ ()

restent distinctes quand les .r s'annulent.

Les deux lenimes qui vont suivre ont pour but d'examiner ce qui se passe quand celte condition de restriction n'est pas satisfaite.

Lemme y. — Si une fonction z est définie en fonction de x^,X2, ■ ■ , x„par une équation

dont le premier membre est une fonction holomorphe en z, x,, x^, . . . ,x„

s'annulant mec ces variables, on peut exprimer z, x,.x.j x„ par des

fonctions algébroides de n variables auxiliaires a,, u..^. .... 'i.,, s'annulant avec ces variables.

En effet, toutes les dérivées partielles de ç ne sont pas nulles, sans quoi cette fonction serait identiquement nulle. Supposons que toutes les dérivées partielles d'ordre m ne soient pas nulles, mais (jue toutes les dérivées d'ordre inférieur à m le soient.

Si parmi ces dérivées d'ordre m qui ne s'annulent pas se trouve

-^) par exemple, on pourra exprimera:, en fonction algébroïde de :;, et alors il suffira de poser

pour satisfaire à l'énoncé du lemme Si l'on a, au contraire.

(in posera

r/'"o (hz) (/"'o

dz'" itx'l' ' ' dx"l '

( '7 ) On pourra toujours choisir les ). et les a de Icllc sorte que leur déleriiiinanl ne soit pas nul etfju'après la sukslitulion

On aura alors r„+, en fonction algébroïde dey, . n. .... }•„,

r.H-.=/,'.>"...n, • ••..)•», et il suffira encore de poser

ri = jJ;; j:= y.2, . . . , )■„— y„, z ^^ y }.iUi ~ '/.„+, J V.,, a, a„\

pour satisfaire à l'énoncé du lemine.

Remarque. — Il faut remarquer que celte nouvelle manière de définir la fonction :; ne nous en fait connaître qu'un élément plus restreint que ceux que les lemmes IIF et IV nous permettaient d'étudier. Dos fonctions algébroïdes définies par ces lemmes nous connaissions un

élément limité par ces conditions que les modules de x,, .r, .t„

restent respectivement plus petits que certaines quantités données.

Les éléments définis par le lemme V seront restreints encore par d'autres conditions, par exemple que, les modules des a? restant plus

petits que certaines quantités données, les modules do -%— ,...,—

soient eux-mêmes plus petits que certaines quantités données.

Lemme VI. — Si p fondions z,, z.,, . . . , Zp de n variables r,, a\, . . . , x„ sont définies par p iiiuations

( iB ) dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes en z,, r.,, . . . , Zp, x,,ar2> •■ • ,^n<^i s' annulant avec ces variables , les fonctions z,, z.j, .... Zp et les tiariables anciennes x, , x^, . . . ,x„ pem'ent s'exprimer par des fonctions algébroides de n nouvelles variables convenablement choisies il., . V..J, .... tj-n et qui s'annulent a^'cc ces nouvelles variables.

En elfet, supposons p — 2, pour fixer les idées; z, et z., sont alors iléfinis par les équations

En vertu du leinnie V, on peut tirer de ç, = o les z et les x en Fonctions algébroides par rn|)port à /z -i- 1 nouvelles variables que nous appellerons Vi.Vo, ..., v,;^., et s'annulant avec ces variables. Substituons ces valeurs dans o.,; cette fonction deviendra une fonction algébroide de v,, v., . . . , v„n (Lemme III, Corollaire II).

On a donc

af -\- A,;^,9?'-' H- ...-(- A, 92 -h A„= o,

où les A sont holomorphes en v, . y.,, . . . , v„, v„^,. Donc, égaler 9, à zéro, c'est égaler A,, à zéro.

Or, en vertu du lemme V, on peut tirer de

Ao = o

Vi.V:; v„, en fonctions algébroides de n variables nouvelles u.,,

u..^ ;j-,j et s'annulant avec ces variables.

Donc, les s et les x étant des fonctions algébroides des v, qui sont des fonctions algébroides des p., sont des fondions algébroides des [x. De plus, set lésa;, s'annulant quand on annule les v.qui eux-mêmes s'annulent quand les ij. sont égaux à zéro, se réduisent à zéro quand on fait

u,;=: u.. = . . . = t/„r- o. c. IJ. F. D.

Remarque. — La remarque relative au lemme Vs'applique également au lemme YI.

Généralités.

Nous nous proposons d'étudier les propriétés d'une fonction z de n \;\nah\es x,,x.,, ...,x,„ qui est liée à ses dérivées partielles du pre-

mier ordre, que nous appellerons

(Iz dz (h

^' = ^' P-=d^: ■■■' ^'~rfF„'

par une relation de la forme

Nous supposerons, pour simplifier, ([ue F est un polynôme entier par rapport a :;, auxp et aux x, et nous poserons, conformément à l'usage,

dF dF dF

li z dxi df),

Nous nous bornerons, comme l'a fait Caucliy, à étudier nn élément de la fonction :;, c' est-a-dire la série des valeurs qu-e prend cette lonclion quand on donne à x,,Xi, . . . , x„ des séries de valeurs telles (juc, si

a,, aj, . . . , Kn 0

sont des constantes imaginaires données,

des constantes réelles et positives, les modules de x, — a,..ro-- y..,

x„— a„ restent plus petits respectivement que [j,,f'2, ■ , ,';„. On pourra toujours supposer (jue

œ, := «j r= . . . r ce,i ^= o

car, si cela n'était pas, on poserait

jr, — j. -i «,, a:, — )%-> a,, .. , J.=r )„-i- «'„,

et avec ces nouvelles variables on serait ramené au cas où lésa sont nuls.

De même on supposera toujours que la valeur que prend la fonction :; quand les x s'annulent est zéro, car, si cela n'était pas, si paiexemple z prenait alors une valeur iinie f-i, on po>^erait

si :; prenait une valeur iufinic, on poserait

et de toute façon on serait ramené au cas où z s'annule avec les x.

Il pourra arriver qu'on soit obligé d'étudier un élément de fonction plus restreint encore, comme on a vu que cela avait lieu, par exemple, (lansles cas où s'applique le lemmeV {voirie Remarque).

L'élude que nous nous proposons de faire de l'équation

F = o comprend la résululion de trois problèmes.