PROBLÈME

Uecherclier quelles sont les intégrales z de l'équalion F = o qui sonl /tolomorphes en X f, x.^, . ., x,,.

PHOBLKME II.

Intégrer les équations dij/erentielles

(/:■ i/.r, d.r-, <lx„ — dp. — dp„

^^' i.PiW I', p, ■■' p„ x,-+-p,z x„-f-p„z"

1 " Sous la forme

oit les K sont des constantes arbitraires, les ç des Jonctions connues de z, des X et des p ; 2° Sous la forme

oit les 'i/ sont des fonctions connues de x,, et de in constantes arbitraires.

PROBLÈME m.

Rechercher quelle est l'intégrale

qui salis/ail à C équation Y = o et qui se réduit identique me ni à une fonction holomorphe donnée en x,, x.,, ■■ -, x„

quand une autre fonction holomorphe donnée en œ,, x., ..., x„

est égale à zéro.

Le problème peut encore s'énoncer d'une autre manière. En effel, les deux équations

nouspermetlenl, en vertu du lemme VI, d'exprimer r, x,, x. x„

en fonctions algébroïdes (le n— i variables auxiliaires a,, u-, y-«-i.

ces fondions s'annulaut avec ces nouvelles variables, soit

x,,^^ 0„ ^ ij.,, Ui, . . . , ««

Le problème III s'énonce alors :

Trouver une intégrale de l'équation F = o qui se réduise identiquement à ,3, quand on y remplace respectivement x,,x.. x„parOt, 5 j„-

Caucby et Jacobi sont arrivés à peu près en même temps a ramener la résolutiondu problème III à celle du problème II. Rappelons en quebiues mots les résultats auxquels sont arrivés ces deux grands géomètres.

Équations linéaires.

Supposons que l'équalion F= o soit de la forme X,/J, -h X,p, -r- . . . + X„/J„ - Z == <.,

oùX,, X. X„.Z sont des fondions connues de^,, x. x,„:.

Les équations ditl'erenlielles 4j. «j»' portent le nom d'cqualioris des

car<iclérisli(iues, prennent alors la forme

flsr^ dar-, dx^ dz

SlIppo^•ons que le problème II soit résolu, c'est-à-dire que l'on ait les intégrales des équations (4) sous la double forme

on trouvera l'intégrale que l'on se propose de cbercher dans le problème III, en substituant respectivement, dans ç,, Sj, ...,5„. fi,, 6,, 6.2, . ■ , 0„ à la place de z, a;,, Xn, .. ., x,„ ce qui donnera à ces fonctions o la forme

y,(p.,,u.,.. , IJ.„-:], •/,«,,//„..,!/.„,),.. ,■/„{(/,, ,«2, ■■•,,«»-. );

et, en substituant ensuite respcclivement, dans ij/,, <^^, .... é„, y,,

72' • •• 7« !' 'a pbue de K,, K2 K„, on aura ainsi l'expression de z,.

X,, x^r ■ ■ •. x„, en fonction de x„ et des a. Ce sera 4'expression implicite de l'intégrale cliercbée, et ensuite, quand cela sera possible, on éliminera les y. entre les éijualions qui constituent cette expression et l'on résoudra par lapport a l'intégrale pour en avoir l'expression explicite.

Équations non linéaires.

Caucliy a fait voir d'abord, en ce qui concerne les équations non linéaires, que, si l'intégrale chercliée existe :

i" Les dérivées partielles du premi* r ordre p,, p.2, ■ -.p,, doivent se réduire identiquement, quand on y remplace respectivement x,, X.,, . ■ ., x„ par 0,, 0-2 0„, à certaines fonctions w,, ojj oj„ faciles à déterminer.

2" Si les équations

ont été intégrées sous la double forme

(6) dr,=;'J;,, .. , x,„— 'l/jn,

nous oblieiidrons l'expression implicite de cette inlc^ralc de la manière suivante.

Dans s,, ç^. .. ., 92» •"Pi'ipliiçons respectivcmenl

par

^1. 'j)i> 0),, . ., w„, 0,, Oî, ..., 5„;

ces fonctions 0 deviendront des fonctions des u., qtic nous appellerons

Dans di,, ti/o, .... i{>;„, remplaçons respectivemciil

par

nous aurons a;,, x,. . . .,cr„,, ;, /;,, ^j, . ., p,, en l'onclion de x„ et des y., et ce sera l'expression implicite de rinlr;;iale clicrdicc, si cette intégrale existe.

Knfin, Caucliy a fait voir que, pour que la l'onclion z ainsi défniie représente réellement une intégrale de l'équation F — o, il faut et il sutïil que les fonctions

, dz (Ix, dx-, dx„^,

soient identiquement nulles.

Remarque I. - On peut toujours supposer que w,, '.».,, .., '„„ son!

algél)ioides en a,, a., 'J-u-x-

En elfet, les fonctions f^,, ojo. ..., o>^, sont définies par

F 3,, ^,, 0;, . . . , 0„, &',, o)î, . . . , Cl). o

el par « — i équations telles (|ue

dl dO, dO, dC,

«t/, il'j.i du., du.,

Si ces n équations permettent d'exprimer les &) en fonctions ;ilgébroïdes des /x, il n'y a pas de diffîciillé.

Si au contraire cela n'a pas lieu, on pourra loujouis, en vertu <]u lemme VI, tirer de ces« équations

en fondions algéhroïdes de « — i nouvelles variables

V,, Vj, . . . , -j,,. ,.

On fera jouer alors à ces variables nouvelles le rôle que jouaient fx,,

[}.. ;-'-«-!, et il est facile de voir que j3,, les 5 et les w s'expriment

en fonctions algébroïdes de v,, v^, . . ., v„,.

Remarque II. — La remarque qui précède ne s'applique pas aux cas où w,, Wj. ..., w„ ne gardent pas des valeurs finies quand on annule les 11..

Remarque 111. — Parmi les intégrales des équations des caractéristiques mises sous la forme.

il y en a une, Go», par exemple, qui n'est autre que le premier membre F de l'équation F = o. Donc, quand on prendra les intégrales des équations (4) sous la seconde forme

on pourra remplacer partout, dans i{;,, 6^ 'y^,,, Ko,, par zéro.

Propriétés des fondions J.

On a vu (|ue la mélbode de Caucliy pour l'intégration des équations aux dilféreiu-es partielles était soumise à une restriction.

La fonction à laquelle elle conduit ne représente l'intégrale cherchée que si certaines fonctions J,, Jj J„, sont identiquement

nulles.

Or Cuucby a démontré :

i" Que ces fondions sont nulles quand ou y remplace a-„ par

0„[u.,, uj, . . ., ;/n-i);

2° Qu'elles satisfont à l'équatioii

lia:,,

c'est-à-dire (|ue, J„ étant la valeur ile .1 quand Tn = 5„,

J=eoJ-/i^"'"

Supposons que l'on ait donné aux a des valeurs quelconques, |Kir exemple

l'intégrale sera prise depuis la valeur de x„, qui correspond à x„ = 5„. c'est-à-dire depuis zéro, jusqu'à une valeur quelconque de cette variable.

Si P„<o, il est évident que l'intégrale

conserve une valeur finie et déterminée, et. par conséquent. |)Mis(pic

que J est identiquement nul.

SiP„^o, mais que P, par exem[)le ne soit pas nul, on lera jouer à Xi le rôle qu'on avait l'ail jouer à .r„, c'est-à-dire que. au lieu de lésoudre les équations

(5) o, = K„ ..., o,„=k,„ en fonction de x„ pour les amener à la forme

(6) x,-^'\ii,, ^2= 6»' •• ' .ï'n-i = 4'"-" 2 =: vJ/„, p,=z.'li„, ,

on les résoudra en fonction de .r,: l'intégrale / dx„ ' sera rem|)lacée par l'intégrale /</a:, jf» qui conservera une valeur finie, et leslonctions

J seront encore nulles.

Si

X, -t- />,Z < o, on résoudra les équations (5) en fonction de/J,, et à la place de l'inléijrrale \dx,,rr on rencontrera l'intégrale i dp/ ^. — - — ^> dont la valeur

est aussi finie.

Dans ce cas encore, les fonctions J seront identiquement nulles.

On n'a donc à se préoccuper de la condition de restriction relative aux fonctions J que dans les cas où l'on a à la fois

I',= I>,=I. ..= P„=o, X, ■+- p,l = Xi-f- /J,Z =...-= X„ + p„Z r= o.