ONE QU J

N’ Re .

= rer

D —ù N N | et mn 2F[4N—(105+5}]—ZF,[4N — (100 +5}]

= + pu (7) (0 )|

ZF[4N—(100+3)]—ZF,[4N — (1059+3}]

155. On pouvait prévoir certaines de ces formules dans un cas particulier.

Supposons N pair, mais double d’un nombre impair, c’est-à-dire supposons 4 —1.

Alors F,(N — mn?) est nul, car N — m° est congru à 1 ouà 2 (mod). On a, en effet,

N= (rh Ei)=N=r=1 (mod 4), , N—(2A2) =] = 2 (mod 4), et d’ailleurs F,(M)=o,

si M est congru à 1 ou à 2 (mod).

On vérifie aisément, dans le cas de N = o(mod 10) qu'il en est ainsi. On le voit encore dans les autres cas, pour les 2F(N — m*) qui s’expriment sans faire intervenir des nombres de représentations par des formes quaternaires. On en déduit, pour les autres, inversement, une relation entre les nombres 8,,L,, TX, (ou X,) et, par suite, on voit qu'il est possible de simplifier les formules obtenues au n° 129 dans le cas de 4 —1. Je montrerai au Chapitre suivant que les formules se simplifient quel que soit 1, aussi ne m'attarderai-je pas actuellement sur

cette question.

154. Liouville (Journal de Mathématiques, t. XIV, 2série, p. 162), donne la formule ZF(m—251)—Z5A, À étant un diviseur de m/, avec m—10m, m étant un entier impair premier à 5, é étant un nombre entier prenant les valeurs 1, 2, 3, ....

Cette formule est un cas particulier de notre formule

2FIN—(5c}],

dans le casouN=o(modio),m—1,v—=1.

On trouve alors SF[N—(50)]—aU.

te N U n’est autre que la somme des diviseurs de m— el le facteur 2

provient de ce que les « prennent des valeurs négatives. On peut donner des formules analogues pour les deux autres sommes : on trouve, en supposant toujours L—=I,Y=I:

ZFI[IN—(50+1)]J—=Z2FIN—(50+2)]=5U,

172 JACQUES CHAPELON.