I. — Notations

33. Nous étudierons dans ce Chapitre les nombres des représentations d’un entier par les formes quaternaires énumérées ci-dessous.

N est un nombre entier. Les lettres placées à droite de chaque forme représentent indifféremment cette forme et le nombre total de représentations du premier membre pour cette forme. Ainsi 8, désigne la forme quaternaire 10 x° + 257? + 5z?+ 24°, ou bien le nombre des solutions de l'équation

Il est clair que ce nombre est une fonction de N : $, —$,(N). +,Y,3,t sont des nombres entiers quelconques, positifs, négatifs ou nuls. Enfin, deux décompositions ne sont considérés comme iden-

tiques que si elles le sont terme à terme.

NE Ne 07, ü, N—2 + y?+5z +58, a, N—=2x+5y +5z3+ 5e, ü, N=—zx+y+z+ 6, I, N=x+y?+3+ 254? De N=zx'+7y+ 252? + 0256?, TT; N=—zx?+25y?+ 9252? + 2547, DIE N= 2x + 25y?+ 255?+ 256? M, AN GZ Si) (27 Er) (27 Hi) +o(2t +1), M, AN=(2æ+i) + (27 +1) +ô(25 +1) +0(2t+1)?, H, AN=(2x +1) +5(2y +1) +5(23 +1) +d(24+1) A,

50 JACQUES CHAPELON.

L AN=(2x +1) +(2y +1) +(23 +1) +(2t+1), Jo AN—=(2æ +1) +(2r +1) + (22 +1) + 29(26+ 1), ot; GN=(2x+1) + (2y +1) +25(25 +1) + o28(26+ 1), A AN=(2x +1) + 25(2y +1) +o25(23 +1) +25(2€ +1), NN; 4N=25(2x +1) + 25(2y +1) + 25(23 +1) + 25(20 +1). JC,

N—=5zx+y+ +5, ®,

N—bx?+ y?+ 252? + 296. ®, GN=5(2x+i1)+(2y +1)+ (23+1)+25(2t+r}), Vo; EN=5(2x +1) +(2y +1)" +25(23 +1) + 20(26+1)?. vb, 2N—102 + y'+53+ 20, S

4N—= (2x+1) +5(2y +1) +ioz + 26, e AN—25(2x +1) + 5(2y +1) +ios + 267, ©, 4N—= (2æ +1} +5(2y +1) +ios + 501? >

55. Nous démontrerons plus tard que les décompositions $ se classent en deux catégories : celle des décompositions 8, (ou$,) et celle des décompositions X, de sorte que

; (mod5).

32 + À, si N=+2

X est le nombre des décompositions 5) 2N— 102 + +53 + ol, où niy,nién'est divisible par 5.

On montrera aussi qu'on peut poser

(mod5 ),

et F est le nombre des décompositions €.

GN=(2x +1) + 5(2y +1) +ios? + 26?,

où ni 2v+1,unitn’est divisible par 5.

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. sÿ

56. Nous rencontrerons dans la suite, des représentations d’un caractère un peu différent. Prenons les représentations AC, (ou X,) et telles que les carrés non précédés de 25 ne soient pas divisibles par20. Adjoignons à ces représentations AMC, (ou X,) particulières, celles obtenues en permutant les quatre termes de toutes les manières possibles, de manière à obtenir des décompositions différentes. Toutes ces représentations et leur nombre seront désignées par la lettre M, (ou) correspondante, mais affectée d’un accent.

Ainsi AC, par exemple, sera le nombre des représentations de 4N par les formes

(am Er) NÉS y 1) H25(23 F1) +29 (26 +1), (2x +1) +925(2y +1) + (23 +1) + 25(24+ 1),

DPI) NU (2Ss ta) Fo (2 Er),