INTRODUCTION

4. Notations. — Je désignerai par F(N) le nombre des classes de formes quadratiques binaires (ax°+ 2bxy + cy*) à coefficients entiers, positives, de l’ordre propre, c’est-à-dire dont les coefficients extrêmes ne sont pas pairs à la fois, et de déterminant b°— ac—— N ou de diseriminant ac— b* = N.

F,(N) est un nombre analogue, mais relatif aux formes de l’ordre impropre, c’est-à-dire aux formes dont les coefficients extrêmes sont pairs à ta fois.

Rien n’est supposé sur la primitivité de ces formes.

. N D V4 I Une classe équivalente à a(x° + y*) sera comptée pour => une classe Lee ; 2 à 12 1 équivalente à a(22x° + 2x) + 29°), pour 3:

ce j

2 JACQUES CHAPELON.

Je poseral encore JUN)=F(N)+3Fi(N), E(N)=F(N)— FN),

GIN)=F(N)+ EN), et, avec les conventions en usage, F(o)=0, F0) =— =; d’où US: Po) me GOES

On peut remarquer que G(N) est le nombre total des classes de formes de discriminant N.

J'aurai à considérer des sommes telles que ZF(N— 5),

N étant un nombre entier positif. La sommation s'étend sur 6, choisi parmi les nombres entiers rendant N — 6° positif.

Si les nombres 5 sont tous congrus (modp), on dira que la somme correspondante est une somme d'ordre p.

Ce Mémoire a pour objet l'étude de sommes du cinquième ordre.

2. Historique. — Legendre (‘),le premier, étudia un sujet connexe au nôtre et découvrit que le nombre des décompositions d’un entier en trois carrés est lié au nombre des classes de formes quadratiques ayant cet entier pour discriminant. Mais c’est Gauss (°) qui établit le résultat de Legendre.

Jacobi montra avec quelle fécondité ses fonctions 0 s'appliquent à la recherche des nombres de représentations d’un entier par certaines

formes quaternaires. On sait qu'il fut ainsi conduit à son célèbre théo-

(*) Histoire de l'Académie royale des Sciences, année 1985 (Paris, 1988), p. 951 et suiv, Voiraussi Théorie des Nombres, 3° édition, vol. I, 3° Partie.

(?) Disquisitiones Arithmeticæ, Braunsthweig, 1801, art, 291 et suiv.

rème sur les représentations du quadruple d’un nombre impair par une somme de quatre carrés impairs ('), puis, à diverses propositions sur les décompositions d’un nombre en deux, quatre, six ou huit carrés. Sa méthode consiste à développer en série de puissances (?) des combinaisons convenables de fonctions ©, puis à égaler les coefficients des mèmes puissances de l'argument.

Dans le cas de la représentation d’un nombre par quatre carrés, Jacobi, par une transposition habile, donna à sa démonstration une forme purement arithmétique. Trente ans plus tard, Kronecker, puis Liouville, imitèrent ce procédé pour présenter, sous une apparence arithmétique, des propositions d’abord obtenues au moyen des fonctions 0.

Jacobi paraît avoir pressenti que les recherches de Legendre et de Gauss prendraient, grâce aux fonctions elliptiques, une extension considérable ; cependant, c’est seulement Kronecker qui réalisa cette prévision en 1857 (*), non pas, à vrai dire, au moyen des fonctions 6, mais en considérant les modules singuliers de la théorie de la multiplication complexe des fonctions elliptiques.

Voici les huit sommes (*) qu'obtint Kronecker

(!) Note sur la décomposition d’un nombre en quatre carrés (Journal de Crelle, t. 3, 1828, p. 191; Fundamenta Nova, 1. I, p. do à 42, 65, 66; Journal de Crelle, t. 12, 1854, p. 107).

(2) Pour la définition des fonctions @, voir le n° 18 du présent Mémoire. L'argument auquel il est fait allusion est q.

(#) Monatsberichte der Kôüniglichpreussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 29 octobre 1857, traduit par Hour, Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2° série, L. 3, 1858 : Sur les fonctions elliptiques et la théorie des nombres, par M. Kronecker.

(*) Ueber die Ansahl der verschiedenen Classen quadratischer Formen von negativer Determinante (Journal de Crelle, t. 57, 1859, p. 248). Ce Mémoire fut traduit en français par Hoüel et publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées,

2e série, t. V, 1860.

Â JACQUES CHAPELON.

IVe 2 G(m —o),