VI: 2(— 15 F(m— 0), VII. Z(—1ÿ Fr

s— 0? ; 5 RS A

Les sommes sont étendues à toutes les valeurs, entières, positives

ou nulles de 6, rendant les parenthèses positives et entières :

ñ est un nombre entier quelconque, m un entier impair, r un entier de la forme 84% — 1,

s un entier de la forme 8 +- 1.

Ce sont donc des sommes d’ordre un et quatre.

Kronecker indiquait aussi l'équation

qui est l'expression analytique du résultat de Legendre.

En 1860, Joubert (*) démontra quelques-unes des formules de Kronecker, toujours grâce à la multiplication complexe.

En 1861-1862, Hermite (*), reprenant les méthodes de Jacobi,

donne des développements nouveaux de combinaisons de fonctions 6,

œ did}

notamment de > t étant, ou non, différent de z. AY

ren

(1) Sur la théorie des fonctions elliptiques et son application à la théorie des nombres (C. R. Acad. Sc., t. 50, 1860, p. 774, 832, 907, 1044, 1095 et 1145).

(?) Lettre adressée à M. Liouville sur la théorie des fonctions elliptiques et ses applications à l’Arithmétique (C.R. Acad. Sc., t. 53, 186r, p. 214, ou Journal de Mathémaliques pures et appliquées, 2° série, t. VIT, 1862, p. 25, ou encore Œuvres, publiées par M. Emile Picard, t. I, 1908,p. 109). — Sur les théorèmes de M. Kronecker relatifs aux Jormes quadratiques (C. R. Acad. Sc., t. 55, 1862, p. 11-85; Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2° série, t. IX, 1864, p. 145, ou Œuvres, t. IL, 1908, D, 241):

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. à)

Ces développements lui permirent, de façon tout à fait élémentaire, mais très ingénieuse et très subtile, d'introduire des nombres de classes, où même, plus simplement, des nombres de formes quadratiques réduites. La démonstration des formules de Kronecker était ainsi ramenée à l’application des méthodes de Jacobi, convenablement étendues. Hermite donnait d’ailleurs, lui aussi, un théorème sur les décompositions en trois carrés, par l’équation

ZE(SN +3) ge (Vo Va +...

À peu près à la même époque, Liouville (‘) avait été conduit, en arithmétisant certaines considérations analytiques, à des relations arithmétiques très générales contenant des fonctions arbitraires. En appliquant à ses travaux le très élégant artifice d'Hermite, Liouville parvint à la démonstration purement arithmétique des formules de Kronecker.

Ce dernier, cependant, annonça en 1862 (*) qu'il avait, de son côté, imaginé la méthode d'Hermite, et il montra, par de nouvelles applications, combien est étroit le lien qui unit les fonctions @ aux relations entre les nombres des classes de formes quadratiques. Il déclara en outre être en possession d’un procédé arithmétique de démonstration de ses formules, inspiré également des idées de Jacobi. A dire vrai, il ne publiait pas son raisonnement, mais en amoreait un autre, bien différent, sans toutefois lever la difficulté principale.

Kronecker avait énoncé ses résultats sans démonstration. Stephen

Smith développa ces dernières dans le sixième de ses intéressants

(1) Note de M. Liouville, à la suite de la lettre d’Hermite (Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VIE, 2° série, 1862).

Voir aussi, dans le même Recueil, les Tomes III à VIIL (2° série), où Liouville donne de très nombreux et très intéressants résultats arithmétiques, mais, en général, sans démonstration.

(2) Monatsberichte der Kgl. pr. Akad, der Wissenschaften zu Berlin, mai 1862,

Reports (‘), en partant de la multiplication complexe. De plus, il resuma les résultats obtenus dans ce domaine en 1865.

En 1867, 1868 et 1869, Liouville (?) persévérant vraisemblablement dans ses méthodes d’arithmétique, donna, sans démonstration, diverses sommes du type de Kronecker et des ordres 3 et 5, et aussi

des sommes de types nouveaux, tels que

ZE F( m— v),

En 1875, Kronecker (*) revint encore sur ses formules et approfondit la manière dont ses théorèmes se relient aux fonctions 0. Il laissait entendre que le sujet était épuisé, mais cependant, en 1879- 1880 et 1883, M. Gierster (*), partant des théories de M. F. Klein sur les correspondances modulaires, étendit considérablement le domaine des formules du type de Kronecker, en montrant qu’à chaque nombre premier correspond un groupe de formules de l’ordre correspondant.

Ilexposa notamment les résultats suivants, rattachés à la fonction

de l’Icosaèdre :

« Soient d'et « des entiers qui satisfont à l'équation da = n et de

plus d'> V2, d’où a < V. Sidest un diviseur quelconque de 7, on

(!) Report of the thirty-fifth meeting of thé British Association for the advancement of Science. — Report on the theory of Numbers (Birmingham, 1865; London, 1866), ou Papers (Oxford, 1894), p. 2809.

(?) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 2 série, t. XII, p. 98; t XHH, p.2, ett. XIV, p.2#97, 8. Voir aussi 2° série, t. II à VIII:

(*) Monatsberichte Ak. zu Berlin, 19 avril 1895, p. 223.

(*) Ueber Relationen zwischen Classensahlen binärer quadratischer Formen von negaliver Determinante (Gôttinger Nachrichten, & juin 1879). — Sitsungsberichte der Miünchener Akademie. Sitzung vom 5 Februar 1880; Mathematische Annalen, XVI Band, 1880, p nes XXber XXIL 18985.

pose (!)

J su=a((9 (9e P(n) — Lo,

» De plus, H{x) est le nombre des classes de formes Pz+2Qxy +Ry!

à coefficients entiers, non équivalentes, de déterminant Q2—PR—=—n,

dont les coefficients extrèmes P, R sont tous deux pairs. On compte 20% +20y pour = et 202°+ 2pxy + 207 pour -

» H,(2)estle nombre des classes de formes définies de la même manière que pour H(2), mais en prenant seulement celles susceptibles de représenter des nombres résidus quadratiques de 5, H,(7) est le nombre des mêmes classes de formes susceptibles de représenter des nombres non résidus quadratiques de 5, de sorte qu’on a tou-

jours (?)

» D'ailleurs

(*) La définition des fonctions Y,,(n)et W,(n) est insuffisante, car elle n'envisage pas le cas de n carré. Nous donnons (n° 16) la définition complète d’après MM. Klein et

Fricke.

On trouvera d’ailleurs les formules de M. Gierster dans les Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen de MM. Félix Klein et Robert Fricke (Teubner, 1890-1892), 2 ter Band., p. 231, 232, 233 et p. 202 et suiv. et leur démonstration, par application des équations modulaires de l’Icosaèdre.

(2) H,(x) et H,(2) n'existent que si » est résidu de 5. Voir d’ailleurs la Note placée

à la fin de ce Mémoire.

8 JACQUES CHAPELON.

et RAA EN UE:

si {n’est pas entier.

» k, représente tous les nombres o, +5, +10, ..., dont la valeur absolue est Sy/4n.

» k,, représente tous les résidus quadratiques (mod5), c’està-dire les nombres 1, 4, 6, 9, ..., quisont Sn.

» k, représente tous les non résidus (mod5), c'est-à-dire les nombres 2, 3, 7, 8, ..…., qui sont </4n.

> représente tous les nombreso, Er 20 quoi

en valeur absolue, <ÿ/4#.

» Dans ces conditions, on a les relations suivantes :

I(t)k r=XEI: (mod5); (1) 22 H(4n—/k?) —=D(n)+2W(n)—2W.(n), nn

(2) 602 (2) —0N (2) D) (3) 5EH,(4n--Kk2,;)—=52H ;(4n—ki)—=W.,(n), (4) 32 H(4n—k3;)—=D(n).

IT(2). n=+E2 (mod 5) :

(1) 32H(4n—k5 )= Din), (2) 22H(4n—4k2,;)=WY(n), (3) 32 H(4n— k?,) = D(n).