DO; S = S3 + À

si N-—

JACQUES CHAPELON.

e es

De mème, siN = Æ+1(mod5),

C0, e = CE, +; siN =+2{(mod5), Se 0, SC; ESS si N = o(mod5), D — D, — D AE k Ster > N x \ à x ? b 15. Expression de ©,(2N) (&—1ou2). — Supposons d’abord

N émpatr, par exemple, congru à 3(mod 10).

Le nombre des décompositions ©,(2N ) est égal au double du nombre

des décompositions S(N) où le nombre t n'est pas multiple de 5.

Nous avons désigné ce dernier nombre par X(N) (n* 55 et 74). Ainsi

Partons en effet de la décomposition (33)

On en déduit quatre décompositions :

(34) 8N—( D+t+5a)+a(? EE 5 ( és 2) +10( PE), CORNE 27572) 2 (IE) + 5 sa of), (36) 8N—( pete af RE) 5 Lee res à (7) SN=(—y—1t—5%) —))

Que peuvent être +, y, z, t assujettis à l'équation (33)? + pourra être quelconque, mais y, = et { sont assujettis à la congruence | 6=52z + y?+ 24 (mod ro).

De plus tÆo (mod5).

On trouve

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. ñ5

d’où les solutions

3 —0, 92,4, 6,8 £—=1, 93,9, 3; 9 Y = 2, 8 et Y = 3,7 (mod 10), t=1,4,6,9 t= 1, 4, 6, 9

dans lesquelles il faudra combiner de toutes les manières possibles les valeurs de z, y, t. On aura done 80 solutions. Il suffit évidemment de se borner aux 16 solutions obtenues en combinant les valeurs de y et de &. On remarque, en effet, que si yest pair, z est un nombre pair quelconque et que si y est impair, z est un nombre impair quelconque. Les décompositions (34), (35), (36), (37) ont donc tous leurs termes entiers.

Précisons les parités de x, y, z, 16.

Il faudra résoudre la congruence

2= 92 + 2+)?+ 00? (mod 4)

qui a comme solutions

DOENOCROEE 7,