Calcul de ©. — Partons de la formule rappelée au n

H? m mt FACAN OT = q me q

n0?— —8 > m 8 COS2m x

[GE [ qu I 2m ï res q

) pes d . ae T a 7 DT . 7 .

Remplacons + pa 7 puis par — et ajoutons les deux équations

obtenues. Les formules { VIT) (Chap. IT) donnent

7. = fe = = mnmq’! mq" hm f 5 nb ARR et Co +- cos 2777 — q? — q? 5 5

ou (n° 25)

(nn so 6D LE DE sf (2)

mi qu Ru à m qe — 20 m y er Egalons les coefficients de 4" dans les deux membres. Au premier membre, il faut poser :

8M—(2æ +1) +5(2y +1)?+10(23) +o(2t+i}, puis 8M—(2x& +1} +5(2y +1) +i10(23 +1) + 2(26).

Supposons que, dans ©, N soit pair. On voit tout de suite que © est la somme des deux nombres de décompositions précédentes, si l’on

pose N —2M.

Dans le second membre, il faut poser M=—m(2p +1)

et le coefficient de g” est

m étant un diviseur de M à conjugué impair.

Cette somme est encore (n°5)

Ainsi

donc (n° 8) + 30 — € —2#mÛU, On a supposé N pair. Si N'est impair © est évidemment nul, car la

congruence

h=(2x +1) + 5(2y +1) +107? + 26 (mod 8)

est impossible.

72 JACQUES CHAPELON.

75. Culcul de 8. — Partons de la formule rappelée au n° 26 : et H° I à m m gr PO TE — PTE Mi + 8È(— 1)" Pi SE ermerr M , ,

Faisons-y x — 2) puis 1 — et ajoutons.

Les formules { VITIT) (Chap. IT) donnent

ll l + 2H

T cos? — COS? — 5 5

— 9 + 162(— he ur

Fe Ttq ue T T — SÈ(—:) Er (cos 2m à +cosims) ou (n° 25) 50(9°)0(q"°)[ 8 0(g°)+88:(q°)] 2 2m = —2+02(— 1%) ITR 27 5 / 1—g°"

Cos? — COS? — 5 5

Egalons les coefficients de g” dans les deux membres.

IL faut poser, au premier membre, M=iox +27 +5z+e;

et, pour que le coefficient ne soit pas nul, il faut que t et z soient de . même parité, c’est-à-dire M pair = 2N.

Le coefficient est alors

puisque z et {sont de même parité.

? 2 do D'ailleurs IN=uzx toy 26 (mod 4),

NT CENT (mod 2),

et le coefficient devient 22(— 1) —2(—1)NS(N).

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. 7 Au second membre, on posera 2N—M—2p(i1+0p) et le coefficient est 2 IN 2 CT E TENTE Ainsi JE \Y r n(L\ \ \ S—2(—1) E(— 1) d 3) 9 (INC (5) (oret— 3) DU.

74. Relations entre les 8 et les ©. — Considérons les décompositions S(N), c’est-à-dire les représentations 2N—=j02 + y+Dzi+ ol}, S 2N—102 +25y?+53+ 264?, S; DNAOM OV D2 OO Sy

Considérons 7° + 26°.

On ne peut avoir dans $, pour y* et &, que les combinaisons (mod 5)

ei)

ii CRE