Supposons N = + 4 (mod

— \ Nous poserons N = 4e (mod 10).

Premier membre. — Alors

et l’on voit (n° 74) que ©, représente le nombre des décompositions € où (2æ+1)=e(mod10o)et que F représente le nombre des décompositions € où (2x4 +1) =—e(mod ro).

Le coefficient (5) correspondant est alors

Feu + + (—ne |;

d’où, pour À— 1, eV(22,—€)

et, pour À=—1,

5e Sr.

Passons aux termes provenant de la décomposition #,..

Remarquons que

d'où, pour (2æ+ 1), (27+ 1), (2z+41)°, les valeurs (mod 5):

Le nombre des décompositions correspondant à la première ligne est ce que nous avons appelé 1b,.

Le nombre des décompositions correspondant à la seconde ligne est

alors M, — BDs

Le terme (6) devient alors

Hi [CM — 305,) + vb]

5 à — 31, : ; Sr [us + À | +) Lib (a Ba)!

ED DOULD —T,

pour À=— 1

Passons au terme provenant de la décomposition f,. (7) donne s vs D de M,; CN f

donc, pour À—1,

et, pour À—=— 1; no 16 € 3° Donc en tout, pour le premier membre :

Pour À—=1

Vtie(ae, LS)—(Ai— ro) —M,],

128 JACQUES CHAPELON.

et, pour À —1, 5 F 5 AC En cM..

S 48 tot 6 3 Deuxième membre. — Les calculs n’offrent aucune difficulté et l’on trouve :

Pour

De SO FCN— (om + 74 D (ar ay (8)

et, poUrTA——1,

| Fe | (=) FLN —(om+i +4 Le : (SE )] (d?— di).

Aux deux relations obtenues en égalant les deux membres pour À—1, puis pour À——1, on adjoindra la relation de Kronecker,

rappelée au n° 106 et l’on pourra alors résoudre les trois équations

obtenues, par rapport aux trois sommes ZF[4N—(1omti}]. ZF[4N—(1om+3}], EF[4N—(1om+5}] Nous écrirons les résultats en distinguant les deux cas &— 1 et