N= + 2 (mod

Premier membre. — Alors

©, étant le nombre des décompositions € où 2x + 1 =0 (mod 5)etf étant le nombre des décompositions € où (2x4 +1) = 1 (mod 5). Le coefficient correspondant (5) est alors

(10) [2 ES ee in f— ene|.

Posons No: Æ rer

Alors (10) devient

CEE) 1) =

Posons es V5 +1 .

VE, (10) devient alors Sie V5 =;

Passons au terme correspondant à la décomposition A. Remarquons que

(2æ +1} + (27 +1) +(23+1)}=3 (mod 5); d’où, pour (2æ+1), (y+1), (2341),

les valeurs (mod 5)

Le nombre des décompositions correspondant à la seconde lhgne est

ce que nous avons appelé »,.

Le nombre des décompositions correspondant à la première ligne

est alors M, eu 3%, .

Le terme (6) devient alors

1+ À) [CA — 3) + 2h, ]

v5}5,, B |4 sex ) LCA, — 305) — 21b,] — (1 + À) [31b, + (AU — 3b,)]

Te ça, — 5 (CS + =

Si donc À — À,, le terme est zéro ; si = À,, il est 'Ere + V5)CM 5 8.),

Enfin, comme 4 N n’est pas résidu quadratique de 5,

124 JACQUES CHAPELON

Donc, le terme (7) est toujours nul.

Second membre. — On l’aimmédiatement.

Pour} c'est

Brus-emnf (ne) (22)

el CM Re 28 (RE A Eu né (IS) | Do | 2 2 ol 2 ide Pour —"7tciest 2V/9 2m J 2m KI UE Den ee A ne al:

Va 2 2 2 À d’ailleurs di + di=+ (mod), donc en |

Enfin, en égalant les deux membres on trouve, pour À =,

(11) 2ÈFI4N—(10h+5}] +22FI4AN— (10h +1} ]—3Z2F[4N — (104 +3)?] — Ds Per

et, pour À = À,, (12) —2ZF[4N— (10h +5}]+ZF[4N — (10h +3} ]—=— Fe — SA — 51). On connaît d’ailleurs une troisième relation entre ZF[4N— (104 + 3}°],

ZF[4N —(10h—5}], ZF(4N — (10h +1)?] et

c’est la relation de Kronecker , ZF[4N— (2x +1)*] = 22(d£— di) qui s'écrit

(13) ZF[4N— (10h +5})]

+2FI4AN — (Goh +3} ]+ZFI[4N — (10h +1)?] = 2X(d? — di).

En résolvant enfin les équations (11), (12) et (13), par rapport à

EF[AN—(oh+5)} ZF[4N—(ioh+i)] et ZEF[4N— (roh + 3ÿ].

remplaçant ©, fi et 2d°— d° par leurs valeurs, on trouve

SFIGN—(roktip]= a a+ 59418 Sie) — 3.ob-IU —(—ou-tV — À (2@,— 1),

SF[AN— (oh 3 ]=— 7 A+ PAP =P—U—2p(T);

FN — (oh +5)]—— A : s 4 25 + À (2 Ei— hs)

4107. 2°N= — 2 (mod 10) On posera alors — V5 +1 À À 3, En He puis Ra ne.

Les raisonnements sont complètement analogues à ceux du n° 106 et conduisent aux valeurs suivantes du premier membre : Pour —}, is 2 a 1) e:

Pour =,

V5 a —— (SA 5 b,— A + Me HE F

Le second membre sé calcule tout aussi aisément et l’on trouve en

définitive

È SFLN— (oh) ]=— 7 A+ rat PP

3 5. ; ZF[4N— (10h +3} ]=24— s— ssh — (2 C1 + bi) — 3.24 UE (—2) Vi (2 Si + V1),

, 3 D : 5 SFLAN— (oh +5) ]=— A+ RH RD + pit HR (2@i+ Un)

=— 20-1U—(—02)IV + (Si + bi).