Relation entre , D, et E(d!— d'). — Y(d,—d) est égal à la

somme des différences des diviseurs conjugués dont l’un est pair,

l’autre impair, si N n’est pas multiple de 4, et augmentée de la somme

des différences des diviseurs conjugués pairs, c’est-à-dire du double de ILES )

la somme des différences des diviseurs conjugués de 7 Si N est multiple

de /.

Donc Z(di—d)=2(d}— di) + 2(d;— d?P) + 2v(T)- De même E(— 14 (d—d)=2di— di) — E(di— dr) + pv); d’où

SUR — dP)— (di d) 2 1)A(d —d)—=p— 7.

Or, Z(d!— d') —È(d\— d') est évidemment égal à la somme des diviseurs pairs, à conjugués impairs, moins la somme des diviseurs

impairs.

16 JACQUES CHAPELON.

Donc . PA ee. ju EE E(dP— di) — S(di— dr) = »8Èd; — Sd, — a U.

Par suite

Les AY+1 __ (13) DDR) Speo te) U=p—p+ A+.

10. Remarques. — 1° En égalant les deux valeurs de Z(d8 — di) —Z(d — dr)

qu’on vient de trouver, on obtient

(14) pi( N)= ER Ou +2v (7), A A ou encore (15) PA CN = EE 5 +2 PN), ce qui s’écrit encore 1 $ 5 (15 bis) SPAN)= PE A TA.

2° SiNest le double d’un nombre impair Z2(—i)4(d,— d)=2(—14d; +2X(—:i)td,

puisque si d, est pair, d'est impair, et réciproquement. Donc

(16) PA (N—4p +0).

La formule (14) contient d’ailleurs cette dernière, en faisant natu-

rellement ÿ (=) — 0.

3° Dans la formule (1/4) est supposé essentiellement différent de 7 . A , \ N ? :

zéro. Mais 1 peut être égal à 1. Alors, dans ce cas, 7 n'est pas entier , : N et l’on conviendra de prendre (5) D

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. M] 4° SiN estimpair, on a évidemment (17) D ——7.

Les deux formules (14) et (17) permettent, dans tous les cas, de ramener la fonction #, à la fonction #.

On peut les réunir en écrivant

(18) Pi (N) = EE un) 10) eh