Relation entre @, ©. et © (d"— di) (LS). — SIN
(mod 10), on trouve
e Sd 5) (PES) 2 sçde— di) (ÉRCY,
Les signes supérieurs et les signes inférieurs se correspondent (voir nr GÈE 2° SiN= + 2 (mod 10),
p È (AT (20) Z(dr— di) (< ) TE Ë(dr— di) (AS) = Z(d?— di).
Les signes supérieurs et les signes inférieurs se correspondent (voir 19)
3° Supposons enfin N = o (mod 10).
Un raisonnement analogue à celui du n° 9 conduit à évaluer la différence
p ë ; d' + dr 2(dy— di) (TRE) —sçdi— ar) ( Es ) = 24 (Ai) +2 (ie) —sa(Ae) — 3 di (8)
ot a (5) ss 7 (=):
Précisons les notations de ces deux dernières sommes : un des
nombres d,, d est pair, l’autre impair, Dans la première somme, le C 3
18 JACQUES CHAPELON.
nombre pair est 2"d'; dans la seconde, le nombre impair est d.. D’ailleurs d, et d sont des diviseurs conjugués et d; est un diviseur impair de N. Il peut se faire que d, soit mulüple de 5. Il est alors multiple
de 5”, sans quoi, son conjugué étant aussi multiple de 5, le symbole
d, + d 1 , +) est nul. La première somme se décompose donc en deux, selon
ue d'est, ou non, multiple de 5 :
2, 26 (Aie) + #29 (AE), J
| RE d,+ d Wet : : :
Il s'agit d évaluer { = ): Or, si d'est multiple de 5, il est clair
qu'on peut supprimer au numérateur du symbole de Legendre le
terme 2%d! : il reste ainsi le terme $ qui est tel que 54 — N’7.
CHE le)
Si maintenant d' n’est pas multiple de 5, on peut supprimer dans la
Donc
somme d,+ d le terme qui n’est pas 200, : 1] reste ainsi le terme DR V0.
Donc
En définitive
; d;+ d NA 0! g' di (AE) — ol D) (5) DC (3) + 24(—1)4X s (=)
et de même
Par suite
=hi+cn()s ta.
On en déduit alors, sans difficultés, en procédant comme au n° 9,
Z(d? — di) En —S(di— dr) (& : 2
que
; [dt + di (21) 22(dP— di 1 )}=e-e+| \
fe) fa iv
eee )]ien 12. Remarque. — On trouve, comme au n° 10, (22) NET + (lis (E)s|vce(r), 5 &.
qui s'applique encore si N est multiple impair de 2. Mais si N est
impair [N = 5 (mod 10)|, (23) Ci—— 0,
v est supposé différent de zéro.
) ; APE ET ; 13. Relation entre R, U, et E(d'— d') ( - ) . — Les raisonnements sont, en tous points, analogues à ceux des n°9 et 11. On trouve :
1° N= 0 (mod 10):
) NAS —=U—U+oa(a— 1) (5 +i1)U
(24) »E(di— de) (
= —U, + — A+ ITA FzÊ+E .
2° N=—+4 (mod 10).
On est conduit à évaluer la différence 2] PNSS A 2 Z (dr — di) (“ e =) — (di — dr) (SES)
La seule difficulté est de calculer (AS ie (ET ae j .
Supposons par exemple N = nel! 10)
di On voit facilement que si (5) 1, /
re = = () J
et réciproquement.
Il en résulte que la différence à calculer n’est autre que
fr —. d'i Fi 24 d'i |: = (5) Eu Da | i = (5):
2 D pi 2 à D
et l’on trouve en définitive :
(25) 2 É(d? — di) (AS) =U—U, + (28—1)UT[(—2)—1]V 3,
ll I RU, +-A+ AT - DT 1 A A Le
les signes inférieurs et les signes supérieurs se correspondent.
AA. Remarques. — 1° Supposons N=o (mod 10), on trouve, comme aux n° 10 et 12,
: + N (26) MN)= La lS + QU + ou (Tr).
formule encore valable si N est multiple impair de 2. Mais si Nest
impair [N= 5 (mod 10)|, il faut écrire (27) BU, —— 4, v est supposé différent de zéro.
2° Si ensuite N = +4 (mod 10), on trouve
Br. (—2)—1 4 NS — V+au();
mais si N est impair [N = + 1 (mod 10)|, il faudra écrire (29) W(N)=—U(N).
3” Les formules (14), (17), (22) (23) 106) (27 08) both mettent, dans tous les cas, de ramener les fonctions #,, @,,&,, aux fonctions Ÿ#, ©, #, U, V et à & et v.
