AG —2#)F

On développera alors les intégrales suivant les puissances croissantes de À, qui

Ghiie PIERRE HUMBERT.

est toujours inférieur à 1, et l’on obtiendra alors les développements suivants :

LAN Nr 2 = GE À EE a+ As À + :

o 2 DUT 6

3 di D ADaT

A ( ES nb bo 260 Te

avec

L’équation devient alors

PA SUN SA ù do — 0y + COCO

Avec les notations suivantes ay — by —=C, on +1 1 2 Le Re M RON ) on n on nñn 11—1A ( 1) , 9 )

M. Liapounov l'écrit

Le FO)

À 3 Ja FD = h+ UE

ISERE 2.4 He

Les coefficients a, et b, se calculent aisément au moyen de formules de récurrence. On a tout d’abord $

L'TIN AE drnl

1 1 La = =(p+1)—=pVp+rlos \

IE (o+r1)(3a—1).

Puis, en partant de l'identité

l ; ee TE (p +2?) | (on 5) (1er Don ED) (ne 122 ist yet P D ) È ) ( ) Cet ) , z' dz (pers (ee (on+4)(i— zÿ#t (on +i)(iz2}e (1 — 52}7 = ,\ )( ) - )( ) z? dz —(o +1) À ads. (0321)? (o + 52)?

SUR LES SURFACES DE POINCARE. 65 on obtient les formules

an +1 1

Any = Un + ———— b ÿ an 4 | DRE Are

On = (o +r)[(2r + AP — (an +o)an|].

On calculera donc, ? étant donné, les à, et b; jusqu’à un certain rang, puis on en déduira c et les /;; on formera ensuite l'équation

FO . , 20 , | ù Q Q dont il s’agit de trouver la racine À. Comme (À) est une fonction croissante de À, si À, est un nombre arbitraire inférieur à 1, la racine sera toujours com- . = C . ’ Ar .

prise entre re On pourra ainsi resserrer les limites de la racine cher- 0 \ chée autant qu’on le voudra. Ce procédé simple donne de très bons résultats. À une fois connu, on en déduira g et A—: Le problème sera entièrement (o)

’ Q 4 Us Là = résolu, et il n’y aura plus qu’à passer aucalcul de la seconde équation.

Conduite générale du calcul.

Ceci posé, examinons la marche du calcul avec son application au cas qui nous occupe. Comme nous l'avons dit au Chapitre 1, nous commençons par chercher une solution approximative, devant nous servir de point de départ pour les calculs de précision. Nous avons donc recours aux fonctions de Legendre.

Pour » — 5, le polynome de Legendre est