LA SURFACE DE POINCARÉ D'ORDRE D

M. Liapounov n’a appliqué sa méthode générale de calcul des éléments du Jacobien critique qu’aux deux cas n —3 et n — 4. Nous allons dans ce Chapitre calculer les éléments du Jacobien critique correspondant à la surface de Poincaré d’ordre 5. Ainsi que nous l’avons dit ailleurs, nous emploierons, pour

la première partie du calcul (celle qui est relative à la première équation de Poincaré), le procédé de M. Liapounov, sans modification. Nous allons donc commencer par exposer brièvement cette méthode, dans ses parties essentielles. Le deuxième stade du calcul, relatif à la deuxième équation de Poincaré, sera traité avec les nouvelles formules que nous avons établies au Chapitre I de ce travail. Tout ce qui va suivre sera donc écrit avec les notations de M. Liapounov.

La première équation de Poincaré.

Cette équation s'écrit

On a posé

et

I “ dt NEA F,3— -(0 © TERRE EU REZ TEEN ET IE Q 5 2,3 la,s (ee 9) fl (t+i)(t+g)A(E)

L’équation considérée est donc

Voici de quelle facon M. Liapounov la transforme de façon à rendre sa résolution possible : nous entendons par ce mot de résolution le calcul de q, à partir de cette équation, où l’on se donne p.

Posant

] D te

et q ee p+g

on peut mettre R et Q sous la forme suivante :

x 1 z? dz ER ete k p+z?yi—X(i— 2?)

T+iQ=(p+1)