CHAPITRE V

Afin de voir de quelle façon s'appliquent nos formules lorsque 7 est pair, nous allons examiner le cas 7 —6 et chercher à calculer les éléments du

Jacobien critique. Nous nous contenterons d’ailleurs d’une précision beaucoup H. 10

moindre que dans le cas précédent. Comme au Chapitre IV, nous emploierons . . CN . , \ D) ; les notations de M. Liapounov. La première partie du calcul, c’est-à-dire la

détermination des quantités g et A —; ne présente rien de nouveau : elle se fait (e)

x LE . . Q 3 A el en effet exactement de la même manière, que » soit pair ou impair. Passons à la deuxième partie, le calcul de J. Il faut commencer par former les polynomes E et B.

Posons } E(e)=(p+h)(p+lh)(oth)=p+tse + se Er.

: - AL" . Me Cherchons à en exprimer les coefficients. Les équations de condition, déduites de l’équation de Lamé, s’écriront

NP AN ET PO (ra 4 4 prets AE D RATS AOL hs, | I 1 FAUNE 4 (1) VU ie D A Or | mr | PR A Eee a hs A h3 —7 h3 — q HE h, Us hs —1h3 î |

En mulupliant la première de ces équations par (4, —1)(h,—g), la deuxième par (h, —1)(4, — g), la troisième par (4, —1)(%,— q), et ajou- À tant, nous rappelant que

Rs + ho + h3=Ss; h; ho + h, ha + Ro ha = D, hiho hs =T, nous obtenons

35—6—6g + —12g +12 —85; d'où

(1) ee

FE MT RE 18(9 +1)—11s

Revenant aux équations (1), et multipliant la première par 4, (4, — 1)(A, — 4), les deux autres par les quantités analogues et ajoutant, nous obtenons

Enfin, multipliant la première des équations (1) par L, — 4, la deuxième

par #, — q; la troisième par h, — 4 et ajoutant, nous arrivons à l’équation y {

(3) 21r?+igrs — 20rm — 187 — 2q0r—qms—+0?q+wq+agsr—3qr—0.

En éliminant r et & entre ces trois dernières équations, on obtiendrait une. équation du sixième degré à laquelle doit satisfaire s; mais ce calcul serait très

compliqué. Nous procéderons de la façon suivante : cherchons à développer s, metr suivant les puissances croissantes de g. Comme g est certainement très peut, nous négligerons les termes en 4°, et nous écrirons

S— Si + S2g; DVD, + Ho, Fr Ti + rIg:

2e ne Remarquons alors que, si l'on fait 9 — 0, le polynome de Lamé E se confond

avec le polynome de Legendre d'ordre 6. Avec les notations ordinaires, ce, polynome s'écrit

») LINE l rs RL MT £ Ke 2 Pr Ce)= Fe OA EONTE + 3127? — 15)

ou, avec les notations de M. Liapounov, comme =? = 5 +1,

23107 + 3780? + 10680 +10, ce qui nous donne

Si —= ?

D'autre part, l'équation (1) s’écrira / ’ {Bi + {Oo 8q +18 — (18 + 114$)

Ti EE lag= Ï

ou, en faisant g —0,

d’où nous tirons

et, par conséquent ) 9

Cette formule donne le moyen de calculer s connaissant g. On en déduira ensuite & par l'équation (2), où l'on continuera à négliger g°; puis on aura 7 par (1), qui s’écrira plus simplement

Une fois le polynome E formé, il ne reste plus qu’à former B. On y arrivera soit par les opérations du plus grand commun diviseur entre E et E, soit en écrivant l'identité fondamentale sous la forme Eee

Gp + a )(et sp -+me tr) + (Bret Bip + fi) (Bet +256 +m)=: et égalant les coefficients des mêmes puissances de » dans les deux membres. En éliminant les,«, on obtiendra les équations

DS | $ 2H60— 258, + | — — :) Bo — -; X r \ 4 > Cox ’ 6 Va el — Q 51 So He ln % Al ? % | ‘ d’où l’on tirera ; ROGERS RAT Po — P 2 , = c 3 BUS DS —2$ LS HAE P AA EN TS — SD +Am?—537rs RÉ PTE DUR NET

avec, P=A4Sr—18wsr = ms Lo, Ep AE

Afin de simplifier un peu le calcul, nous poserons

nous aurons donc

Om — 25?, " SEL LE 2 TDS —2$ O7,

P=mb;—2rb, +or—wrs.

Tout est connu alors pour le calcul de J : nous avons

PU Co | PAM Re ù bp? + bip +b, > E(o) (0) 2 Pr P(0° -Ss®+mo+r) 206p + b, (Dog +de + b:)(8p?+oso +)

Pie Hss?Æme tr)

P{e ae S0*+ wo A vo

HÉagladh 00e HS as ÉÉTEE Lu Pont

LM (e H' D

Forme des surfaces d’ordre 6.

et nous savons que

À np effectué le calcul ci-dessus; sans entrer dans les détails de Popéation, indiquons seulement les conclusions que nous en avons tirées : 9, cer-

Fig. 7. — Surfaces de Poincaré, d’ordre 6 (section par le plan des æz).

{ + Pr Se | | |

Surface négative. Surface positive.

tainement compris entre 0,019 et 0,021, est extrèmement voisin de 0,020.

C’est cette valeur que nous adopterons,

MAN PIERRE HUMBERT. 4 Nous avons alors 0 — 0,920; 4 = 0,0024; $-=z 14098:

VV n##0,:720;

Passant à nos notations, nous trouvons, pour le Jacobien critique correspondant à » — 6, les axes