DU
et, la fonction de Lamé s’écrivant
nous aurons
La surface de Poincaré d'ordre 5 sera définie, en première approximation,
par le déplacement normal M;.0 (u) N;. (v)
ie — C0)
CN
et l’on obtiendra ses équations par les formules ordinaires
avec
Pour achever de déterminer la surface, calculons les coordonnées des points fondamentaux de ses sections par les deux plans de symétrie, comme nous l'avons fait pour la surface d’ordre 4. Nous trouvons :
Section par le plan des æ3. — Premier point fondamental : Ti 01220 Gite 2 O0 Deuxième point fondamental :
La 0,498; PIE 923 Section par le plan des yz. — Premier point fondam ental : ë Yi = 0,247; 318 QT Deuxième point fondamental :
Ye TE 0,491 ; 2/1), 720;
Il faut y ajouter, outre les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes du Jacobien, les sommets du petit axe de l’ellipse principale. L’intersection de la surface avec le Jacobien critique se compose en effet de la petite ellipse principale, z: — 0, et des quatre lignes de courbure définies par
y= + Vo,
y = Vos.
La section par le plan des yz est donc fort peu différente de la section par le.
plan des zx, ce qui n’est pas éfonnant, puisque, à mesure que z grandit, on obtient des surfaces qui se rapprochent de plus en plus de la forme de révolution.
Ces sections sont représentées ( fig. 6), avec la même échelle que pour les.
surfaces d'ordres 3 et 4. On voit que le Jacobien critique est très allongé; et il semble probable qu'il y ait des inflexions, même pour de très petites valeurs dessins |
Signalons les propriétés géométriques suivantes, extensions de celles que nous avons données pour la surface de Poincaré d’ordre 3 :
1° En deux points fondamentaux symétriques par rapport au petit axe de l’ellipse, les tangentes à la section font entre elles, quel que soit e, un angle constant, égal à l'angle des tangentes à l’ellipse en ces points. Ce résultat s'étend d’ailleurs à toute surface de Poincaré d'ordre impair ;
OA D s e , : 6 à Construction, donnée pour 7 —53, du centre de courbure en un pseudo-
Fig. 6. — Surface de Poincaré, d'ordre 5.
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