Sur les surfaces intégrales communes aux équations différentielles

Le Mémoire qui suit est une étude sur les intégrales communes des équations différentielles; par cela même il traite au fond une question

de Géométrie. En effet, si deux (ou plusieurs équations) forment un système complet, il résulte que les congruences de caractéristiques de ces équations admettent des surfaces (ou multiplicités) communes. On peut étudier ces surfaces à deux points de vue : 1° d’après la manière dont on passe d’une surface intégrale commune à une autre; 2° d’après la manière dont sont distribuées sur chaque surface les caractéristiques des équations données ; c’est-à-dire les intersections avec les surfaces intégrales non communes. Par rapport à cette étude, on peut poser trois questions : 1° reconnaitre d’après les équations, avant de les intégrer même, les caractères des surfaces intégrales communes et des courbes tracées sur elles ; 2° donner les moyens d'intégrer ces équations, dans le cas où cela est possible; 3° former les équations dont les intégrales et leurs caractéristiques jouissent des propriétés données, ce qui donne lieu à l'intégration des équations aux dérivées partielles non linéaires plus où moins compliquées, et Fe: I

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des courbes conjuguées et de l'orthogonalité.

première et la deuxième Partie & s'occupent de l'intégrat le des intégrales du système non linéaire A 2(n—1) éq 1

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2 (Cr ci Pan qui contient déjà une classe très générale des LE aux dérivées partielles (linéaires seulement par rapport aux dérivées des fonctions

inconnues), et que nous sommes arrivé à intégrer.

PA Nous avons donné à cette question le nom d'équations aux inté- Jeu

FOR Ç grales réciproques ; elle a été le point de départ de nos recherches. | “à |

De. |: Ces équations contiennent expressément le cas où les caractéris- Qui PR PRE tiques sont des courbes de translation sur les surfaces intégrales TO communes, et c’est justement l’observation de ce fait qui nous à

conduit à étudier d’autres cas, qui feront l'objet de la troisième * MIT | Partie.

PEL te NES Un exposé de la théorie des systèmes complets, sous une forme qui

puisse s'adapter à des recherches de ce genre, était absolument néces-

saire au commencement de cette Partie.

Pour terminer le problème de la translation, il restait encore un cas (qu'il faut disunguer de celui énoncé plus haut) où l’on passe d’une surface intégrale commune à une autre par un mouvement de translation et les différents cas qui peuvent être communs avec le premier, notamment celui où les équations aux intégrales réciproques se réduisent à 2(7 —1)—p à cause de p liaisons qu'on se propose d’avoir entre les & ou les 6. Nous avons aussi étudié le cas où les caractéristiques tracent sur les surfaces intégrales communes des courbes conjuguées. Comme les courbes de translation sont des courbes conjuguées, celte dernière Partie traite d’un problème plus général.

Nous avons appelé les équations non linéaires correspondantes