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où À», …, An, Sont les valeurs de k,, ..…., k,, tirées des équations (3); on suppose également que l’on ait remplacé dans les intégrales effectuées [,, ...,[, les expressions k,, ..., k,, par ces valeurs. Quant aux fonctions Il;, elles sont arbitraires tant que les fonctions bx(v,, ...,#, ,)ne sontpas données; autrement elles dépendent exclusivement de la forme de ces fonctions.

Pour une détermination des fonctions u,, ..., u,,, la deuxième série d’intégrales ?,, ..., ,, sera donnée par les relations

(5) BE rs se Re La I DIT RES) QE Deus, ee: ) Dire rue) DTEZ TEE) DER DE ePE 2)

[IL Pour justifier notre méthode il faut démontrer que les fonctions #,, .…., #,, sont en réalité des intégrales de l'équation A(z) — 0, et cela quelles que soient les fonctions &,, …., a,,, dont nous avons affirmé, sans le démontrer, que l’on est libre de les prendre arbitraires.

Cela va résulter du théorème suivant, plus général, qui contient la réciproque de ce que nous venons d'établir et qui est très remarquable par son dualisme :

ï Si les fonctions Ui,..., Un ; forment un groupe par rapport à opération

= Oz 0z (BREST = (#) Ua, F- ue GHOS. je 0€,

alors :

UN un - <btil

1° Les fonctions

Au, y) Du Cr) OP L 1 LRO CNCUET n—1 $ A(u, D) [a(u, TK) MODES ne io =)

CO ET) forment aussi un groupe par rapport à l'opération

dz V OUR as ——— —— ( ) 1! 0x: roses CEE 0x,

20 Les deux groupésider fonctionsiu,, Ua Pene cs Peneddr meltent un sous-groupe d'ordre n — 2 commun.

3° Les équations U(z) = 0 et V(z) — o sont en involution.

4° Chacune de ces équations admet n — 2 intégrales fonctions de ses coefficients, et ces intégrales sont justement les solutions communes des équations considérées.

5° Les fonctions u,,..., u,, sont les intégrales de l’équation VNÉDE= 07 ete, on les intégrales de l'équation U(z)}=—0:

Considérons l’expression U[Vz)] — V[U(z)] = H(:).

On a, par hypothèse, Mu) du, Rue)

et , VO) =0

par la définition même des fonctions ?.

Il en résulte

1aK 47 NET?

Or / \ a À 2 OZ SC) ANA 0) On aura donc les # — 1 équations ; = du D du, 1e U(+, 0%, ee CIEL == {ie

14 C. POPOVICI.

On suppose SACARANEN" "RE LES RESTE ;

car autrement les quantités #,,...,#,, seraient infinies. Il s'ensuit que l’on aura forcément

Ur) eo, Lies TA TA

La dernière partie de notre théorème est démontrée. Il en résulte que l’on aura H(z) — 0. Donc U(z) et V(z) forment un système en involution, ce qui donne

U[ V(e)] — VIU(:,)] = 0.

Or Eee Donc LAGRETACRERS:

Les fonctions # forment aussi un groupe par rapport à l'opération gTOoupE P P

Enfin, on voit aisément que les 7 — 2 intégrales de chacune des

équations Ok dÀ AC aes DE Re Un 4 Un) Sr #=10; T2 l ; Op: / L ; Op Aa Pr lee ee seE D LR On) =—— 0) dv, JP

sont des intégrales communes des équations U(z) =o, V(z)=oet fonctions des coefficients mêmes de ces équations.

Ces conclusions subsistent aussi dans le cas où les fonetions &,, ..., u,, forment un groupe par rapport à une opération A (3).

IV. Ce théorème nous impose logiquement le problème suivant :

Etant donné un système de fonctions u,, ..., u,,, reconnaitre s’il existe un système de fonctions

A Ur EU De 2,3 OR (CURRENT)

MSN H PE Au, æh-1)

doivent être, dans ce cas, les intégrales de l'équation A(3)= 0. ne que ces FOOD Hot distinctes. Alors, les fonctions

A, 2 cs E AC, .. 4):

AUTRE. LE Anis - 3 Zn)

seront données par les équations

2 S 4 = = | A(e 5) ee" Lors = A DES NU) Er x D R L x ( 19 UT ro) A(+, Zi) L #Q LE ; | | RAR 2 : 3 Q A ei DES ! Q { :

Les et ces fonctions elles-mêmes seront les intégrales de l’équation Er À MES D: | : Ne | | F : ANinsi, 1lfexsteun Système de fonctions A ,(4,, 640) 0 ne A, Cu, ..., Un) de la nature indiquée, si les identités 4 Î Aa) ME. + A (rm) qe + SE = 0 dl AA Er 77 É le Q n—A A Pare 77 De 1 OLn Fo A RES

sont vérifiées.

Le problème se réduit donc à la vérification des identités ralionnelles par rapport aux expressions données &,, ..., Uni.

Enfin, si dans les expressions A,(æ,,...,æ,),..., An 1(@,,..., 2%) on prend comme variables &,,..., 4,1, æn, la variable x, disparaîtra et l’on aura les fonctions cherchées A,, ..., A, , en fonction de

We, WU, dans le cas où nous avons appris qu'elles existent.

16 C. POPOVICI.

V. Dans le cas particulier où le nombre des variables est pair, soit 2n, et où l'expression

A Len ve Mo ae: Fee on du, — dx,

admet un facteur intégrant, nous tombons sur des groupes de Lie. Désignons par w l'intégrale que l’on obtient avec un facteur intégrant. On a les parenthèses de Poisson :

(uv;) = 0 (DAME an — 1),

QT SE NC NS de COR SP OT UT D’après le théorème fondamental de Lie, le système d'équations (6/2) =0: Le (6.200

doit être en involution. On voit bien que « est l’intégrale commune. Remarquons que & doit être une fonction de P,, ..., P»,-,, Car on a

(uu)—=0.