CRE

où l’on a pris

ces dernières courbes sontelles-mêmes de translation sur les premières pour une valeur donnée de k. °

b,, b, expriment les vitesses en un point de rencontre et @,, a, expriment les vitesses du mouvement réciproque.

La surface 2 &y — k sht a des propriétés curieuses : elle est d’abord de translation, elle admet quatre séries de courbes qui se projettent sur le plan xy suivant des hyperboles d’asymptotes parallèles aux axes, deux séries d'hyperboles égales qui proviennent de la translation des hyperboles xy = + k et aussi deux séries Re homothétiques et symétriques qui correspondent pour sh{=æ+c, c étant une constante.

Maintenant que nous avons les intégrales qui correspondent à des forces fonctions de vitesses, nous pouvons intégrer complètement le système donné. On aura pour l’intégrale générale

x=c(i—e")+ef1--(1—e")log(et— 1)], v=c(i+e)é+ c[i1—(r+e) log(r +e*)].

34 €. POPOVICI.

Si nous profitons de la remarque faite sur les groupes qui transforment les intégrales des équations réciproques (non linéaires), nous voyons que l’on peut intégrer les systèmes de la forme

dx —X(æx,7y,t)

ae ete

dy MAT)

dt? e-Tlx, % ASE I 2

X, Y, T étant des fonctions définies par une transformation telle que x = p(K)X+ a(K), J=e (KR) Ÿ F(K), t = p(K)T +c(K),

où p, a, b, c sont quatre fonctions arbitraires de l’intégrale commune

Cas particulier des équations aux intégrales réciproques.

I. Dans l'étude précédente, nous avons laissé de côté un cas dégénéré, celui où les fonctions w; se confondent avec les fonctions +;,

Dans ce cas, au lieu de 2(7% — 1) équations, nous avons les ñz —71 équations non linéaires suivantes :

; duy, a ...

1 duy du (A) | + Aus Won) D 5 © 0 GRR TEEN ):

ce qui nous donne immédiatement les intégrales générales

pe A CURE, Ho) RE, À D. =, |=—=0

(DANONE )

ou, ce qui est la même chose, (1) CRAQUE Un. ) D DACU: Ur),

P,,...,®,, étant des fonctions arbitraires.

Supposons qu'on ait résolu ces équations par rapport aux foncons w;,...,u,, et envisageons alors l'équation

Aa) 0:

qui sera une équation linéaire maintenant connue. Les caractéristiques de cette équation, c’est-à-dire les courbes

UT ete). —< 108 NS RER ET

représentent une congruence de droites, parallèles en chaque point à la direction

Aa, .0:, am), 209 An ( is. An) I ; mn intégrales quelconques DU Ur) Cr D sp) On(Uir- Uni) == Cr

nous représentent une surface réglée à » — m dimensions. L'intérêt de cette question n’est pas dans l'intégration que nous avons faite du système (A ); mais il réside dans le théorème suivant :

Une expression de la forme

RAGE MU, ET ‘ RU Ru dre P{u,, ue Jar,

ne peut être une différentielle exacte que si u,,..., u,, sont des solutions d’une équation de la forme (A).

En effet, supposons que l’on ail

: pe P; 1: , (5) ue CURE Un)

0Ly OL;

36 €. POPOVICI.

on peut considérer P, exprimé en fonction de P,,..., P;5etl'onpeut écrire ss

OP PO; dP, oP, 1