EE = ET
den OP dr dPrs dt
ou, en vertu des relations (3),
4 OPA 0P% OPe 9P% OP (4) AP NU ae 1
Cette équation est de la forme (A), car les coefficients
GIP di 9P; ; CE DP,N
sont les mêmes quel que soit k, et ils sont fonctions des intégrales tite Ps AE
L'utilité pour la Mécanique de ce théorème peut ressortir des exemples suivants :
Supposons qu'un point mobile soit assujetti à se mouvoir suivant une loi :
les forces X, Y, Z étant fonctions seulement de la distance à l’origine 7 et de la cote 3 du point mobile.
Eh bien, dans ce cas, on peut être sûr que l'intégrale
dT =X(r,z) dx + Y(r,z)dy +Z(r,z)dz
n'existe pas. En effet, il faut que les paramètres 7° et z soient des intégrales d’une équation (A). Or ces paramètres définissent une congruence de cercles, tandis que les intégrales d’un système (A) définissent des congruences de droites. Il serait donc inutile pour notre exemple de chercher l’intégrale des forces vives.
On peut, par suite, énoncer ce théorème :
Quand un mobile est soumis à des forces qui dépendent d’une congruence de courbes, l'intégrale des forces vives ne peut exister que dans le cas où cette congruence est composée de droites.
pas que la réciproque soit vraie. he IL. Comme les forces dépendent des paramètres qui définissent la congruence, il existe entre ces forces la relation
. baton tn FO 2) ete)
que l’on peut appeler surface de forces. Elle exprime que les forces en grandeæ;-direction et signe sont représentées dans l’espace X, Y, Z par des vecteurs qui vont de l’origine aux points de la surface F.
Ces surfaces se traduisent par des propriétés qui lient les forces aux diverses droites de la congruence. Aussi demandons-nous quelle est la condition pour que la direction des forces soit perpendiculaire à la direction des droites. tr
Si nous regardons l'équation (4), nous voyons que, pour que la fonction de forces existe, il faut que les coefficients angulaires des droites
Pa
soient donnés par les expressions 1e
OX OT Si les forces sont perpendiculaires aux droites, on aura
> OZ ÔZ Es +Y+2=0o,
ce qui nous donne
La surface de forces doit être un cône qui a le sommet à l’origine. Demandons-nous quelle doit être la condition pour que les forces
soient dirigées suivant les droites de la congruence. On doit avoir
0Z ,: #92 OX RO Er x arr AE
ce qui donne l'intégrale
