X;[XC3)] — X,[X
En effet,
ALRC)] — XX: (2) = DIX) — Xx(25)] pa.
Or, remarquons que, d’après la définition même des opérations X, on à
AUS not On, 05 DE nOE NE de ou ar Donc - ; a PX, D X(a4) Xi (ai) = Er —
duy du; du; 0uy
Nous dirons que les équations X,(3), ..., X,,(3) forment un système en imvolution.
IT. Par définition, appelons système complet un système formé
par 7x combinaisons linéaires distinctes des équations (4). Aïnsi, par exemple, le système
où les À sont des fonctions de x,, ..., x,, sera un système complet si
l’on a so | GE À, 0. A7 | = Où
I est évident qu’un système complet de #7 équations à » variables admettra 7 — m intégrales communes.
Il est aussi évident que » combinaisons linéaires des 7» équauons formant un système complet nous donneront aussi un système complet
admettant les mêmes intégrales communes.
pe ÿ
44 €. POPOVICI.
Si Y, ..., Ÿ,, sont des équations formant un système complet, on aura
(7) YA] Y[Y ler, Vider PT (l, ÉEMEe70
En effet, d’après les équations
; OZ i dz Y; Meta in de on obtient Vi V:C2)] — Ya Y:(2)] AN rs __d?z VAN: 077 $ d'OS Enter LD du} du 524 2" 2 À, Up OUy ( ) h P h
OX ou 0}, ot AU kQux — a.
Les dérivées secondes disparaissent. S1 nous posons
OXË D; £ PE ZNGus à QR SM 10),
dur
nous aurons, en vertu des équations (8), RACE NACUET Tee
VC EN CEE, re.
où
en posant P r'! Ai DS je De AE AREA 1 ik RE A ik PK
On voit aisément que tout système de 72 équations satisfaisant aux équations (7) sera un système complet et par suite admettra » — m intégrales communes, etc.
IV. Il est à remarquer qu'à un système complet correspond une infinité de systèmes en mvolution.
Ainsi, si l’on fait le changement OO QUR. SUR, ® 10780 CAT AU)
et si l’on considère le système
LR Bet, Pit. FE*p., où l’on a mis CR 0%; oops
on peut remplacer le système X,, ..., X,,, à partir duquel nous avons ei
formé le système Y,,...,Y,,, par le système équivalent &,, ...,, défini par les relations
do; 20 RE +
ou, du, 7 00 lt 00»
Ô ln OU
où l’on suppose
| L'; = (OR Um+ss ets NOR. AMEN DE 0 PRIOR RE ’ ( ) nn ee Xm( Un Unis 7er re) ! J Ln+1 == XP CZ, QrAR SEE) Un Uni) CDR DE Ln = XECU; ? Us Uni 5) U» D
Le système en involution correspondant sera de la forme
\ NT T Lys Pmes Poe Dora n 00) (10) ) no = D Dh. — O
CL, PmT L41 Pm+ Ro ne Pre
46 C. POPOVICI.
Il est résolu par rapport aux quantités p,, ..., P3 NOUS avons obtenu ce qu’on appelle les systèmes jacobiens.
Applications.
VI. Comme applications, nous allons remarquer que le fait qu’un système complet
VV Dites), Dr
admet 7 — m intégrales communes 4,,,, ..., u,, exprime que les systèmes d'équations
dx, dcr re — ï ; Yi Jr D RO T O D AO O ra , dx, .. VAR RE nt
Ji Yn
admettent une famille de surfaces intégrales communes, ou de multiplicités, à #4 dimensions dans l’espace à » variables,
fee = Um; EUOAON k, — Un.
Ces surfaces dépendent de 7 — m paramètres k,,,, ..., k,.
On peut étudier les systèmes complets par rapport aux propriétés dont jouissent ces surfaces, el surtout au point de vue des rapports qui existent entre ces surfaces et les surfaces
re nn K, = 4
VII. Multiplicités orthogonales. — Ainsi, par exemple, cherchons quelle est la condition pour que ces deux séries de surfaces soient orthogonales.
Il faut que les équations
