CES QUE, EL
Comme cas particulier, nous trouverons que la condition pour que la congruence de courbes
u,(x, Y,3) =, ..) u, (x, 7,3) =k représente des trajectoires orthogonales à une fanulle de surfaces, est exprimée par les relations { U,(p:) — U:(p,) =r(pi— Pa),
Ge DU, (ga) — Ua(gi) = r(g: — q2),
où l’on à 2 Of Ce OT BAG: Se CTI sets DR U,(/) — Pr0x Eee dy SA Des ui y. Ve Uyx ha Uy ES re Clber DUT 1e der TO ÈS ni
r étant une fonction de x, y, 3. | Étant donnée une famille de surfaces w,(x, y, z), on pourra déter-
43 C. POPOVICI.
miner les surfaces # = u,(x, y,z) qui donnent avec les premières des trajectoires orthogonales à une troisième famille de surfaces.
On n'aura qu’à chercher une intégrale commune des équations (12) linéaires en p, g, r, s, &. On pourrait également tâcher d'intégrer Péquation (13) Üi (ps) 0 (mi) U,(g2) — Us)
LR EE ?
P2— Pi Yo— a
qui est une équation de Laplace.
VII. Muluiplicité de translation. — Je vais maintenant chercher quels sont les systèmes complets dont les surfaces intégrales communes sont des surfaces de translation.
Je prendrai le cas de trois variables. Supposons que le système de deux équations
T o) 0) | U(f) =u, Ÿ +a fl +5
satisfait à la condition. Alors les surfaces intégrales communes pourront se mettre sous la forme
x = f,(u, 0) as p,(k), Y = fitu, P) + ga), 3 = fa(u, ?) + 9:(A),
où la fonction (x, y, z) déduite de ces équations est l'intégrale commune du système (14), & est l'intégrale de l’équation V(f)=o et v l’intégrale de l’équation U(f) = o, sans que l’une de ces intégrales appartienne à l’autre équation.
Conformément à la définition que nous avons donnée des systèmes
complets, nous aurons re GA
du —. du ou TER.
of Of) Of; de de de
en ( I
Nous voyons que &,, alors seulement de Lx ulles u & p; on aura donc
And u); vu, us).
Il s'ensuit que tout système ee de la forme
< of (15) P,(u,, nn 1504 BeCus ne Mie RE
admettra, comme famille de surfaces intégrales communes, des
surfaces de translation.
IX. Nous avons vu comment, étant donnée l'expression de ces surfaces, on peut former le système complet correspondant. Un problème plus difficile serait le suivant :
Etant donné un système de deux équations, vérifier si l’on se trouve dans les conditions du problème et intégrer même le système de deux équations dans ce cas.
Pour résoudre la question je m'appuierail sur ce fait : que chacune
des équations U( f) et V(f) admet une intégrale fonction de ses coefficients.
En effet, u, et w, étant des fonctions de wet de », on aura, en éliminant &,
— ÀAÇu,, ue),
qui est une intégrale de l’équation UE On aura aussi = p(9:, 82),
qui est une intégrale de l'équation V.
Supposons maintenant, qu'on nous donne deux équations aux dérivées partielles ; il s’agit de voir si elles admettent une famille de surfaces intégrales communes de translation.
Il faut d’abord que les coefficients de l’une des équations soient
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fonctions des coefficients de l’autre; il faut ensuite que le système
soit complet. En désignant par &,, u,3 e,, e, les coefficients des deux équations, cette dernière condition se vérifie facilement avec l'identité
| U(n)— Vu) U(m)— Ve) (16) Pi — U La Po — Us
Maintenant, l'intégrale commune se trouvera en cherchant un facteur intégrant o de l'expression
(7) dk=p[(u -v,)dr+(u,—v,)dy +(u,s,-— ,u,)dz].
La recherche de ce facteur intégrant (qui existe toujours) se réduit seulement à l’intégration de deux équations ordinaires à deux variables, grâce à la remarque que chacune des équations données admet une intégrale fonction de ses coefficients.
I faudra chercher deux fonctions ÀA(4,, #,) et u(6,, #,) telles qu’on ait
Considérons l'équation AU UOTE LEE DU UE
si l’on remplace, dans le second membre, x et y par leurs valeurs en fonction de w,, u, et 3 tirées des coefficients de l'équation U, alors z disparaîtra, et nous obtiendrons une équation différentielle ordinaire. Soit À(u,,u,)= V une intégrale de cette équation ; on aura sans aucune quadrature une intégrale de l'équation
de; =V(r)
des V(m)
en éliminant V entre les coefficients w, et #..
Pour intégrer complètement les équations U(f) et V(f) il nous reste maintenant à trouver pour chacune d’elles une seconde intégrale. Nous chercherons leur intégrale commune k.
Pour cela, on cherchera une intégrale w de l'équation U(f) (on en connaît déjà une, c) et enfin la forme de la fonction
RU qui satisfait à l'équation
de V(v1)
dw VC)
Nous voyens que dans le cas le plus général le problème est réduit à l'intégration des équations séparées à deux variables au lieu des équa- Uons à quatre variables.
X. Nous allons dire quelques mots pour le cas de x variables. Supposons qu'on ait le système complet
A, Pi + a, Pit...+ a, Pr + Pa= 0,
DE LE 12 JE DD End ee ne nd D Ur 0:
Désignons par RTL LES Ke de la multiphcité de surfaces intégrales communes, et par U,, es Es
des fonctions distinctes de ces intégrales.
Pour que les intégrales communes représentent une multiplicité de translation, il faut que nos surfaces puissent s'exprimer sous la forme
| y IC cs Un) + CR oo y Ho
(18) d or tn sd eue) ver Er «à 0 51 a Vo she la) e (he ua de 6 p; 1916 re. va a is . PERRIN. PR De AE OS Ho)
D’après la définition que nous avons donnée des systèmes complets,
on devrait avoir, pour un choix convenable des fonctions 4,,..., u,, les P. 8
52 G. POPOYICI.
relations
Or, les f et leurs dérivées ne dépendent que des u,,..., u,;ilen résulte qu'entre les (7 — 1) m coefficients af il n'y en aura que m indépendants; tous les autres s'exprimeront en fonction de 7» d’entre eux, So ENST
Ainsi nous pouvons énoncer ce théorème, que : {out système complet
de la forme 1 1 1 n 1 1 mn LÉ dpt aa. di )Da ce. 6, (7,0) Fe 0,
mr
di 17) 1 an AU Di FAT. À, JPa Es De (ON di Jr Den
représente une multiplicité de translation. k
Cas particulier des équations aux intégrales réciproques.
XI. La question que nous venons de traiter est en étroite liaison avec celle des intégrales réciproques. Elle nous donne la solution du cas, que nous avons laissé de côté, où tous les déterminants
D'Or 00117) Die verre. 2)
sont nuls, c’est-à-dire où le système de coefficients d’une équation ne constitue pas le système fondamental d'intégrales de l’autre équation ; ou, en d’autres termes, on se propose de déterminer deux équations aux intégrales réciproques par des relations existant entre les coefficlients d'une même équation.
Proposons-nous ce problème pour le cas de trois variables ; le cas de À» variables se traite de la même facon.
Nous avons établi que les surfaces intégrales communes aux équa-
riment sous la forme
à (u, x) is pt p; k),
faCu, k) + p(P, k), ACER AO) M ets dans quel cas ces nr. seront elles-mêmes de
translation dans leur famille.
Alors ces surfaces k(x, y 3) pourront se mettre sous la forme
Cu) + 9,6) +4),
(20) : | y = Qu) + p:(e) + VC),
et nous aurons
mers = Ps CHR CRE
Nous voyons alors que les équations différentielles se présentent sous la forme
dt.
U 7 PE +x=0 (21)
c’est-à-dire d’un système complet dont les coefficients sont fonctions seulement de deux d’entre eux; nous sommes dans le cas du problème précédent où les intégrales communes représentent des surfaces de translation, mais nous sommes dans un cas particulier, celui dont les coefficients d’une équation sont les intégrales de l’autre, c’est-à-dire que les caractéristiques sont, sur ces surfaces, des courbes de transla-
tion.
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