XII. Prenons un exemple simple

Considérons les équations

dt 2e A

Êr + f (æ e a)5 ra d — O, ot es oO! dt a ONE ed

C’est un système complet, ainsi qu'on le voit de suite. Il est constitué par des équations aux intégrales réciproques et, comme les coefficients ne dépendent que de deux fonctions, les surfaces intégrales communes seront de translation.

Ces surfaces se trouvent immédiatement en cherchant un facteur intégrant de l'expression [o'Cx — 3) + f(x + 3)] dx — 2dy +[— (x — 3) + f(x + 23)]dz.

Cette expression est déjà intégrable, les surfaces demandées seront

k=q(x—z)—2y +f(z+x); ce sont justement des surfaces de la nature indiquée. On a

27 (u)S 00 Le

L'exemple donné est des plus simples possibles; mais des équations 2 u pp ie F Le à A] 1] : AC plus générales pourront s'intégrer par les méthodes que nous avons indiquées,

XIII. Nous pouvons également reprendre le cas des équations aux intégrales réciproques, où il existe une relation entre les & seulement. Ainsi proposons-nous de résoudre le problème suivant :

Intégrer le système

dv: OP dP, RS (22) | ÿ à du 1 du = du sait 4 | - IA ee ( à dP3 5 dP LS l dx Ÿ dy dz “dx 4 ) 0y de

avec lr'ois inconnues y, Pos U.

En vertu de ce que nous avons dit jusqu’à présent, il résulte que les surfaces intégrales communes k(x, y, z) des équations auxiliaires

ok ok ok ok dk ok Dé re rm Por RO ga +

se présentent sous la forme la plus générale :

| …. ER nue.

(23) Y = fiCu)p(k) + 9,(6, k), | 3 = f(u,)p(k) + 9,(v, 0).

v et À peuvent être considérées comme des fonctions arbitraires de +», et #,; quant à f,, f, et f,, ils doivent être liés par la relation