HONTE

: » Car on a, dans la dernière des [A (ax)ax — byl i

(1) Ici À se transforme en

équations (28), A (ar) = B(b,) =0,

ce qui donne

vw

Intégration des équations conjuguées.

XVIII. Reprenons les 27 équations aux dérivées partielles non linéaires | |

QU TÈt œ, ce + An 3e — are a b;, da; da; B(a;) == b, 5 + 7 == B,a;+ a Dj.

Nous avons vu qu’elles déterminent tous les systèmes conjugués. Ils dépendent de quatre fonctions arbitraires &,, 4,3; 8,,8, et des fonctions arbitraires de l'intégration.

Nous avons intégré le cas

QUE PRES NC — 10)

c'est-à-dire celui des équations aux intégrales réciproques. Les caractéristiques étaient des courbes de translation; d’où 1l résulte que les courbes de translation sont des courbes conjuguées sur les surfaces intégrales communes.

Prenons le cas

A(b;) £ ab, B(a;) = 6 a;,

qui est en apparence plus général. Ce cas se réduit à celui des équations aux intégrales réciproques, en divisant chaque équation par le

Le D) mn ù ’ Q coefficient de -—. En effet, on peut écrire

0h D;\ b,A(b;) — b;A(b,) et aussi B Se | 4 (0)

Nous retrouvons les équations étudiées dans la première Partie. Le cas général se réduit à un cas plus simple en prenant comme

64 C. POPOVICI.

; 7e V0 4 $ Es inconnues = et Fa On obtient alors le système réduit LI nm

| AD) aie ar se mhaeb) d

Bas) = bg ++ bi pet + EE = p(ai— bi), qui nous donne tous les systèmes de caractéristiques dti, 4L, dx;== b;0%;,, qui définissent des congruences conjuguées.

XIX. Nous étudierons seulement les systèmes, d’ailleurs les plus

intéressants, qui correspondent à l’une des valeurs À ou 1 égale à zéro. Soit

| d. du Mo.

| U(e») = }, — DE Q0 0 ee bg ee —— De = 0: | (33) dux du 0 à | Nu) = 6 He 7 Gien ee ge — Aux — px).

On peut passer du système (33) au système plus général (32) par une transformation conjuguée

u= pai+ (1 — p)b;; =ra+(i—r)b;

p et r étant liés par la relation invariante (28), ce qui nous fait disposer encore d’une relation arbitraire entre p et r..

Considérons ainsi le système (33) de 2(n — 1) équations non linéaires.

Si nous prenons les équations linéaires correspondant à un système de solutions w}, ; supposées connues, soil

(BNEE Te VE )—= 50,

ces équations forment un système complet. Par suite, quel que soit un point donné x, ..., 4, de l’espace, il existe une surface qui passe par

SURFACE CINTÉGRALES COMMUNES.

ce point et qui est commu? aux deux congruences de caractéristiques, dont l’une est

Cæ, , %) — CAGE AE nous désignerons l’autre p MG Tr) = (X, .@t).

Les équations U(#) expriment que lorsqu'on se déplace suivant une courbe donnée = Const. — ?;, la tangente à toutes les courbes ux qui la rencontrat garde une direction fixe pour les points de rencontre avec cette courbe p.

En d’autres termes, pour la surface considérée des courbes u, la - courbe » est la ligne de céntact d’un cylindre dont les génératrices sont parallèles : à la direction

p° pos I

|) D + Re = er US Vot+...+p9 +r OUT + +0 Hi Ve +...+e +1

En résumé, pour chaqué dsystème déterminé d’intégrales w, et », des équations Co la congruäce e représente les courbes de contact des cylindres circonscrits aux surfaces intégrales communes, et la congruence « représente des courbes qui ont pour tangentes les génératrices de ces cylindres. Le système complet qui les définit satisfaisant aux équations (33), les deux séries de caractéristiques seront des courbes conjuguées.

Nous retrouvons ainsi un théorème de M. Kœnigs, qui subsiste pour le cas de n variables.

Revenons maintenant à l'intégration effective de nos équations (33).

On a UV(z) — FU(z) = a[ V(z) — U(z)|.:

Si nous remplacons z pd ‘x, On peut écrire (34) UV ()] UN,

el, avec | U(v) — O,

ceci nous donne le système de caractéristiques

A4, 0 est tnt M Pers te dV (vx) (2) Te CE DT

qui nous montre que les rapports des expressions V(P,), RE) sont des intégrales de l'équation U(z}) = 0; c’est-à-dire qu’on a

MÉDOC APRECE APANES)

k,,..., k, étant des fonctions arbitraires de l'intégration.

Il en résulte que l'équation V(z) —o admet 7 — 2 intégrales Dis. Pn-2 fonctions de ?,, ..., #,,, à savoir celles qui satisfont aux équations

de, Pke, A

RE po = — 4} re ki(®s, RCE) Pn1) Kn-2( 1 ere Sy Vn—1) es

On devrait s’y attendre, puisque ces 7 — 2 intégrales sont les intégrales communes des équations U(z)et V(z).

Supposons que a soit assujetti à rester constant sur les surfaces intégrales communes, mais qu'il puisse varier quand on passe d’une surface à l’autre, c'est-à-dire que à soit une fonction arbitraire de Pis se.) Pn 2 3 ON à alors n — 1 intégrales qu’on peut écrire

C,..., CG, étant » — 1 fonctions arbitraires de l'intégration (F0

(*) Les équations (36) nous expriment que, quel que soit le système de soluuons w; et p; qu'on obtiendrait, la forme linéaire Ce) sera une transforel

mation infinitésimale de l'équation U(:) —o.

SURFACÉ INTÉGRALES COMMUNES. 67

dx; CEE = =. de?

Ge, ‘s Ee. dv; +1 4e | des En Os ( 635 À: 0h) DO CAC (Pi ren

Maintenant, au lieu de pendre comme fonctions arbitraires C,, ..., D. tre . . .

Cy-,, nous pouvons prendie arbitrairement les fonctions CRC E 9 telles que C,, ..., C,, $ient définis par les relations

do: donsts Gr SRE rene F J9n-# 09h» CRE G dv; | ire Cu dvi Fe d9 CA EE - G, FA fr Gé = Alors le système (34) dvient dep Eden VAS RENOM Ro Ne mr # —— ue,

Supposons que ?,, ...)e,, sont exprimées en fonction de 9,, ..., On Ÿ, Ce qui revient à lire un changement de variables connu, et soit

Ca 1

D'OUPRR, T)— d(o; D Dr) ou vx(o).

On a d’abord une nouvelle intégrale

EXT } f2Q 0 RS EN ( 58) “ 7 de Effectuons les quadratires ER CLEMR se : LEE 1 I, Æ | ”, (k Su — dx, eee le = | pre (% Le ) AL

ie 2e

OCR QE OP AENENE ETC

ni he. 4 5 PE (3 .. | CR k)

nous donnent, en remplacant k par sa valeur (35), les n — 1 fonctions

Piiconniespi ee, GT et l’on trouve enfin. LT PU, DIE les rela-

tions , N

Us Fa Le Un | .

DCR Nr es) “2 EAN NE. 4 à MOD. Te

DT EE) DIGENSG2R, D) D(ri1 70800)

Dans le cas particulier où le système conjugué constitue les deux familles de lignes de courbure, on doit avoir la relation

(39) A DE OU, Ce 0

Considérons la première des équations (33). On remarquera que la relation (39) exprime que tout déplacement suivant une trajectoire #; = C; de l'équation U(z) — 0 est perpendiculaire à la droite de direetion G,, ..., CG, 1: Cela veut direvque les lignes de courbure, celles qui sont en même temps des lignes de contact des cylindres avec les surfaces intégrales communes, forment une congruence de courbes planes.

Vu et approuvé :

Paris, le 21 février 1908, Le DOYEN bE LA FACULTÉ DES ScigNces, Pau APPELL.

Vu et permis d'imprimer Paris, le 21 février 1908,

Le Vice-RECTEUR DE L'ACADËMIE DE PaRis, L. LIARD.

M at Dé

SECODE THÈSE.

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