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Nous voyons que le problème n’admet pas de solutions quelles que soient P, Q,RetS, ce qui revient à dire :
Deux combinaisons linéaires à deux équalions conjuguées ne donnent pas toujours deux nouvelles équalions conjuguées.
Pour le cas de trois variables, le problème est toujours possible, car les trois équations (25) nous donnent des solutions déterminées R CS— » — ei Pr, et ik Po P2 Pe
cients P, Q,R, S. On peut donc énoncer ce théorème :
en
on pourra prendre arbitrairement trois des coeffi-
Dans le cas de trois variables, on peut toujours, d’un système conjugué, déduire par des combinaisons linéaires de nouveaux systèmes conjugués; le problème dépend de trois coefficients arbitraires.
Dans le cas de n variables, pour que le problème soit possible, il faut que tous les déterminants
“| AÇa;) B(b;) a; b; A(a;) B(b;) a; b; 5 (29) OC Pa CUT TI)
Aa) B(b,) (27) b, sotent nuls, ce qui nous donne n — 3 conditions distinctes.
XVII. Il est à remarquer que, par cette transformation, les surfaces intégrales communes restent les mêmes, par le fait que M(z) et N(z) sont des combinaisons linéaires de A(z) et B(z), mais les systèmes conjugués changent. Au lieu d’avoir les deux congruences de caractéristiques
dax; &; OZ; b;
De yo) da An nous aurons les deux congruences de caractéristiques aussi conJuguées
dt; PQ: dry RAD 0;
— : — Dr mie dt Pad Qb, dr Ra To
62 €. POPOVICI.
où P, Q,R, S sont liées conformément aux équations (28) par la
relation |B(4x)axbx|
7 TAC(a)arbr|
En particulier, si l’on fait a, = b,—1,ona
; dx; dx; (30) Te =P&a+(—p)b;, Da CA MENT); pour tous les systèmes conjugués qui correspondent à une même série
de surfaces, à condition que p et r soient liés par la relation (*)
Base À (31) TEINTE à
Il existe deux valeurs p — r pour lesquelles les deux équations conjuguées se confondent. Elles sont
+ A He ae AV
nous obtenons ainsi deux congruences de lignes asymptotiques.
Pour les surfaces réglées, ces lignes deviennent illusoires, car A est indéterminé.
Cette expression A est la même pour toutes les congruences d’un système complet donné, Nous pourrons l'appeler ineartant conjugué du système.
Les congruences des lignes de courbure seront enfin données par les équations (27), qui correspondent à celles des valeurs de p et r qui sont les solutions de l'équation (371) et de la suivante :
DEpai+ (ii —p)bifra+(i=r)b;] = 0.
