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Cet ensemble peut constituer même une surface à p dimensions si p de ces équations se trouvent parmi les » — 2 intégrales communes : des équations A(z) et B(z), ou plus généralement si les équations de 4 notre courbe se réduisent seulement à ? — p —:1 équations distinctes, … es en vertu des » — 2 relations qui constituent les intégrales communes. | | Si une caractéristique & traverse cet espace en un point &!, ., Lay la caractéristique ©, qui passe par ce même point, le traverse aussi avec la même tangente. Si la caractéristique & contient un arc entier situé | dans cet espace, toutes les caractéristiques » qui la rencontrent enun | ad point de cet arc auront une portion commune avec la caractéristique & | qui sera constituée par cet arc dans toute sa longueur.

Les équations réciproques et la théorie des groupes.

Les intégrales des équations réciproques jouissent de belles propriétés au point de vue de la théorie des groupes que nous allons diviser en deux catégories :

1° Groupes d'opérations qui transforment un système donné d’intégrales en un nouveau système d’intégrales des mêmes équations linéaires ;

2° (Groupes qui transforment un système d’intégrales en un nouveau système appartenant aux équations non linéaires.

Cette dernière propriété nous permettra de déduire d’un système de solutions connues une infinité de solutions dépendant des fonctions arbitraires.

Nous allons démontrer, en Dre que ces opérations forment un groupe, non seulement au point de vue de transformer les intégrales les unes dans les autres, mais que le produit de plusieurs opérations peut être remplacé par une seule. On obtient, par ces transformations, des intégrales appartenant à un même groupe.

I. Considérons le système général de 2(7 — 1) équations (3). De

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ces équations nous avons déduit les équations (11) et (12) qui, résolues par rapport aux expressions A (44) et B(v,), nous donnent des relations de la forme

dux dur dur ACL, Nan UE) FE? Se TO ae ACTE), …. He) PTE Fe 0Z, ( ) = ax(us, .) Her):

] : ë dPy : s \ dvy dv B,(»,, “Pre 0x; ne Pn2y) OTn—1 GES | DEP errn tree

Ces relations expriment que les fonctions ul}; ..:, un, ,-Vistee, forment un groupe par rapport aux opérations A(z)etB(z).

Toutes les fonctions F(u,,..., u,,), D(e,,...,v,,) font partie du groupe. Quelle que soit une fonction H(w,, ..., uw, ,), il existe une fonction F(u,,...,u, ,) qui donne

A TRE or DU. Een, On n’a qu'à chercher une intégrale de Péquation 0F CH | ÉTAPE Un) Ge HSE Gnilir er Un) Hit Ho

Pour H = o on obtient les intégrales communes des équations À (z) CL BE) SEnOousrÉpÉtONs sur GUU,, 0. ) ED, (6.7, CIE opérations A(z)et B(z), nous obtenons évidemment des intégrales des mêmes équations linéaires B(z) =o et A(z) = 0.

Il est intéressant de démontrer directement cette propriété que les fonctions & et » forment un groupe. |

A cet effet, remarquons que, les équations linéaires étant en involution, nous pouvons écrire

(== Tes e- 10:

Or, comme on a

AUPr) = 0, B{u) = 0,